Spektrum (funktionsanalyse)

Disambig bordered fade.svg For alternative betydninger, se Spektrum. (Se også artikler, som begynder med Spektrum)

Begrebet spektrum bliver brugt inden for funktionsanalyse som en generalisering af konceptet af egenværdier af en matrix. I det følgende ses der på spektrum for begrænsede operatorer.

DefinitionRediger

Hvis   er en begrænset lineær operator på et Banachrum  , så er spektret af   mængden af komplekse tal   hvor   ikke er invertibel, hvor   er identitetsoperatoren. Spektret af   skrives som  .

Spektret kan også anses som værende komplementet til hvad der kaldes resolvent mængden   som er mængden af   hvor   er invertibel. Lidt mere formelt er   mængden   hvor   eller   og   er domænet for  .

Elementer i spektrumRediger

Man spørger nok sig selv om at siden spektrum er en generalisering af egenværdier af matricer, hvornår et element i spektrum er en egenværdi.

Sætning: Hvis   er et normeret rum som er forskellig fra 0, så er spektret   ikke tomt.[1]

Sætning: Resolvent mængden   og åben, og spektret   er kompakt.[2]

for en operator   gælder det at den er invertibel hvis og kun hvis   er bijektiv. Dvs. at vi har to måder hvorpå vores operator ikke længere er invertibel, hvilket er hvis   ikke er injektiv eller surjektiv.

Element er en egenværdi i spektrumRediger

Hvis   ikke er injektiv, hvilket vil sige at funktionen   ikke er injektiv, da må der eksistere et   sådan så  . Dette er definitionen for hvornår   er en egenværdi, så hvis   ikke er injektiv er   en egenværdi i spektret for  .

Element er ikke en egenværdi i spektrumRediger

Hvis et element   ikke er en egenværdi, da er   ikke surjektiv (på). Dette kan ske på to måder:

  1. Billedmængden af  , som ikke er hele   er tæt i  . Denne del af spektret kaldes for det kontinuerte spektrum.
  2. Lukningen af billedmængden af   er en ægte delmængde af  . Denne del af spektret kaldes for det residuale spektrum.

Typer af spektrumRediger

En generelt brugt måde at opdele spektret på er den følgende:

Vi ved at en begrænset lineær operator på et Hilbertrum er invertibel hvis og kun hvis den er begrænset nedefra og har en tæt billedmængde. Dette vil sige at et komplekst tal   er i spektret for   hvis og kun hvis   ikke er begrænset nedefra og/eller at   ikke har tæt billedmængde. Dette fortæller os at man kan opdele spektret i to muligvis overlappende delmængder:

  1. Omtrentligt punkt spektrum (approximate point spectrum) af   er   ikke begrænset nedefra  .
  2. Kompressions spektret (compression spectrum) af   er   har ikke en tæt billedmængde  .

Det omtrentlige punkt spektrum består igen af to disjunkte dele som er de elementer som er egenværdier af  , som skrives  , og komplementet af denne.


Man kan også opdele spektret i tre andre disjunkte dele:

  1. Punkt spektret (point spectrum) af   er   ikke er en-til-en/injektiv  . Så igen ser vi at punkt spektret består præcis af alle egenværdier af  .
  2. Det kontinuerte spektrum (the continuous spectrum) af   er   er en-til-en/injektiv  . Dette spektrum består af de   hvor billedmængden for   er tæt men er ikke lig med hele  .
  3. Det residuale spektrum (the recidual spectrum) af   er   er en-til-en/injektiv  . Dette spekre består af de   hvor billedmængden af   ikke er tæt.

Disse tre spektrum har den samme definition for Banachrum.

Egenskaber for spektretRediger

Spektret for en operator på et Hilbert eller Banachrum indeholder vigtig information omkring operatoren.

Den er også en konjugeringsinvariant da:

Sætning: Hvis   er en operator i   for et Banachrum  , og hvis   er en invertibel operator i  , så er  .[3]

Ovenstående sætning angiver blot en måde hvorpå spektret ikke ændres, men det er ikke den eneste måde. For hvis   er komplekse Hilbert rum som er forskellige fra 0, hvor   og  , dvs,   er invertibel, så gælder[4]

  1.  .
  2.  .
  3.  .

Ved at disse holder, så gælder det også for spektret, resolvent mængden og for spektral radius.

Hvis   også var unitær gælder også  

Hvis vi antager at   er et komplekst Hilbert rum og at   er enhedscirklen omkring origo i det komplekse plan, så gælder følgende[5]:

  1. Hvis   er hyponormal (dvs.   eller  ) så er   og  .
  2. Hvis   er normal så er   og  .
  3. Hvis   er unitær så er  .
  4. Hvis   er selvadjungeret så er  .
  5. Hvis   er positiv så er  .
  6. Hvis   er strengt positiv hvis   hvor  .
  7. Hvis   er en ikke triviel projektion så er  .

Flere egenskaber kan ses i.[6]

Selvadjungerede operatorerRediger

Generelt for en selvadjungeret operator i   gælder der at enhver egenværdi for   er reel og at egenvektorerne for forskellige egenværdier er ortogonale.[7]

Kompakte selvadjungerede operatorer i  Rediger

For en selvadjungeret begrænset operator   på et Hilbertrum   er  .

Dette kan bruges til at vise at for en kompakt selvadjungeret operator i   så er mindst et tallene   eller   en egenværdi for  , hvilket vil sige at mindst en af disse er et element i  .[8]

Kompakte operatorerRediger

Resultatet som bruges til at karakterisere de kompakte operatorer på et komplekst Hilbert rum   kaldes 'the Fredholm Alternative' som siger følgende:

Sætning (Fredholm Alternative)[9]: Lad   være en kompakt operator på et Hilbert rum  , og antag at   og  . Så har vi følgende:

  1. Hvis   er injektiv så er   invertibel.
  2. Hvis   afbilder surjektivt fra   til  , så er   invertibel.

En anden sætning giver at ethvert punkt i spektret som er forskellig fra 0 på en kompakt operator altid er egenværdier for operatoren[10].

Vi kan også yderligere beskrive elementerne i spektret for en kompakt operator ved følgende sætning.

Sætning[11]: Tag en kompakt operator   som er mængden af kompakte lineære transformationer, så har vi følgende:

  1. 0 er det eneste akkumuleringspunkt af  .
  2. Hvis  , så er   et isoleret punkt af  .
  3.   er en diskret delmængde af  .
  4.   er tællelig.

Spektralmapping for polynomierRediger

Hvis   er et polynomium med komplekse koefficienter, så for enhver delmængde   er  .

Sætning (Spektral mapping sætningen for polynomier): Tag en operator  , hvor   er et komplekst Banachrum. Hvis   er et polynomium med komplekse koefficienter, så er  .[12]

Denne sætning gælder også specielt hvis   er en unital Banach algebra hvor  , så er  .

Eksempel: Hvis   er et element i en unital Banach algebra som opfylder at  , og lad  . Så er   hvilket medfører at  . Dvs at   for alle  , hvilket giver os at  .

Denne sætning kan også udvides til at gælde for polynomier som gælder for normale operatorer i et Hilbertrum  . Lad   og   være arbitrære delmængder af   og lad   være et polynomium i to variable med komplekse koefficienter, hvor  . Hvis vi i særdeleshed ser på  , da er  .

Sætning (Spektral mapping sætningen for normale operatorer): Hvis   er normal og   er et polynomium i to variable, så er  .[13]

EksemplerRediger

  1. Hvis   er en øvre triangulær   matrix, så består   af elementerne på diagonalen af matricen  .
  2. Hvis  , hvor   er et kompakt Hausdorff rum, så er   for alle  .
  3.   er rummet af alle kvadratisk summable sekvenser, som også er et Banach rum. Den unilaterale skift operatoren   er   og dens inverse er  . Her er den nemmeste måde at bestemmespektrum for   er ved først at bestemme spektrum for  , da   ikke indeholder nogen egenværdier. Det første vi kan se er at spektret for   er indeholdt i mængden  . Som det næste kan vi vise at   er indeholdt i   og er egenværdier. Vi ser at hvis vi vælger vektoren   hvor  , så vil   være opfyldt og dermed er   egenværdier for  . Og da spektret er lukket er  . Så ved at bruge at hvis   ikke er invertibel så er   heller ikke invertibel, og dermed, da   så ser vi at  .

Kommutative Banach algebraerRediger

Når vi arbejder med Banach algebraer (og dermed også C* algebraer) så har vi at  [14], hvor   er en kommutativ unital Banach algebra,   og   er et kompakt Hausdorff rum.

Dette kommer af at komplekse homomorfier på en unital kommutativ Banach algebra er en ikke triviel multiplikativ lineær funktional  , som er kontinuer med norm 1. Samlingen af alle disse ikke trivielle multiplikative lineære funktionaler kaldes det maksimale ideal rum og skrives  .

Måden hvorpå vi ser at spektrum er af denne form kommer af følgende:

Hvis vi vælger et   og antager at  , da er   ikke invertibel og mængden   en ægte delmængde, da den ikke kan indholde  . Ud fra dette kan man så se at den må være indeholdt i et maksimalt ideal som ved[15] er kernen af en multiplikativ lineær funktional  . Så da   da er  .

Omvendt, hvis  , så kan vi finde et   sådan så  . Så givet et hvilket som helst ikke triviel multiplikativ lineær funktional   , da har vi at  . Dette giver os så at   eller   for ethvert  .

Sætning (Gelfand): Hvis   er et element i en unital Bananch algebra  , så er  .[16]

EgenskaberRediger

Hvis   er en unital C* algebra og   er normal holder følgende[17]:

  1.   er selvadjungeret hvis og kun hvis  .
  2.   er unitær hvis og kun hvis  .
  3.   hvis og kun hvis  .

Hvis   er et selvadjungeret element i en unital C* algebra  , så siges   at være positiv hvis  , og så skrives   og de positive elementer i   skrives som  .[18]

Sætning: Hvis vi lader   være en lukket delalgebra af en unital Banach algebra   som indeholde enheden for  , så gælder følgende[19]:

  1. Mængden   er en clopen (dvs. lukket og åben) delmængde af  .
  2. For ethvert   gælder det at   og  .
  3. Hvis   og   ikke har nogen huller, så er  .

Her ses det a vi ved hjælp af spektrum får vigtig information omkring operatoren.

SpektralradiusRediger

Det kan godt være vanskeligt at bestemme hvad spektret for en operator præcist er, så vi vil ønske at kunne indskrænke vores søgeområde. Dette er lige netop hvad den næste sætning giver os mulighed for at gøre.

Sætning (spektral radius formel): Hvis  , som er en unital Banach algebra, da er spektral radius  [20]

Med denne sætning ved hånden, kan vi nu bestemme hvilket område i   som spektret ligger i, og dermed indskrænke vores eftersøgningsområde for at bestemme spektret.

Eksempel: Hvis vi har  , hvor   er et kompakt Hausdorff rum og dermed at   er en Banach algebra, så ses det at  , hvor  , så  . Benytter vi os af spektral radius formlen, så ses det at   da  .

AnvendelserRediger

Spektret bruges som tidligere nævnt til at bestemme vigtige egenskaber ved en operator, så som om den er selvadjungeret, normal eller positiv.

Spektret for en operator bruges til klassifikation af operatoren i form af spektral sætningen (der findes flere versioner af denne). Dette skal ses som en udvidelse af den klassifikation som man ser i lineær algebra hvor der gøres brug af egenværdier, egenrum, minimal og karakteristiske polynomier.

Spektrum bruges også indenfor kvantemekanik, hvor spektret for en operator relateres til forklaringen af spektret for atomer[21].

ReferencesRediger

  1. ^ Sætning 2.2, C.S. Kubrusly, Spectral Theory of Operators on Hilbert Spaces, Springer
  2. ^ Sætning 2.1, C.S. Kubrusly,Spectral Theory of Operators on Hilbert Spaces, Springer
  3. ^ Sætning 4.27, B. MacCluer, Elementary Functional Analysis, Springer
  4. ^ Proposition 2.B, C.S. Kubrusly, Spectral Theory of Operators on Hilbert Spaces
  5. ^ Proposition 2.A, C.S. Krubusly, Spectral Theory of Operators on Hilbert Spaces, Springer
  6. ^ Afsnit 2.7, C.S. Kubrusly, Spectral Theory og Operators on Hilbert Spaces, Springer
  7. ^ Sætning 4.20, B. MacCluer, Elementary Functional Analysis, Springer
  8. ^ Sætning 4.19, B. MacCluer, Elementary Functional Analysis, Springer
  9. ^ Sætning 4.32, B. MacCluer , Elementary Functional Analysis, Springer
  10. ^ Sætning 4.31, B. MacCluer, Elementary Functional Analysis, Springer
  11. ^ Korolar 2.20, C.S. Kubrusly, Spectral Theory of Operators on Hilbert Spaces, Springer
  12. ^ Sætning 2.7, C.S. Kubrusly, "Spectral Theory of Operators on Hilbert spaces", Springer
  13. ^ Sætning 2.8, C.S. Kubrusly, Spectral Theory of Operators on Hilbert spaces, Springer
  14. ^ Sætning 5.28, B. MacCluer, Elementary Functional Analysis, Springer
  15. ^ Sætning 5.26, B. MacCluer, Elementary functional Analysis, Springer
  16. ^ Sætning 1.2.5, G. Murphy, C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press, Inc.
  17. ^ Sætning 5.49, B. MacCluer, Elementary Functional Analysis, Springer
  18. ^ Definition 5.54, B. MacCluer, Elementary Functional Analysis, Springer
  19. ^ Sætning 1.2.8, G. Murphy, C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press, Inc.
  20. ^ Sætning 5.15, B. MacCluer, Elementary Functional Analysis, Springer
  21. ^ Side 98, B. MacCluer, Elementary Functional Analysis, Springer