Åbn hovedmenuen

Inden for matematik er et vektorrum en abstrakt algebraisk struktur. Definitionen af et vektorrum er inspireret af de sædvanlige geometriske vektorer, og den sikrer at der er to regneoperationer, nemlig addition af vektorer med vektorer og multiplikation at en vektor med en skalarer (se næste afsnit), som er stabile i den betydning at resultatet altid også er en vektor som ved almindelige geometriske vektorer (disse er således et specialtilfælde af vektorer).

Indholdsfortegnelse

DefinitionRediger

Ved et vektorrum over legemet   (også kaldet et  -vektorrum) forstås en mængde   udstyret med to operationer

 

og

 

som opfylder følgende betingelser (aksiomer):

  • Additionen gør   til en abelsk (dvs. kommutativ) gruppe. Det betyder at
    1.   for alle   (associativitet)
    2. Der eksisterer et neutralt element   kaldet nulvektoren som opfylder at   for alle  
    3. Enhvert element   har et inverst element (en modsat vektor) kaldet   som opfylder at  
    4.   for alle   (kommutativitet)
  • Multiplikationen opfylder betingelserne (gangetegnet   udelades normalt)
    1.   for alle   og   (en slags associativitet)
    2.   for alle   og   (distributivitet over additionen i  )
    3.   for alle   og   (distributivitet over additionen i legemet  )
    4.   for alle   hvor   betegner ét-elementet (det multiplikative neutralelement) i legemet,  

Elementerne i   kaldes da vektorer, mens elementerne i   kaldes skalarer.

Bemærk at der skal foreligge et legeme med alt hvad det indebærer, før man kan indføre et vektorrum. Meget ofte er legemet   simpelthen  , de reelle tal, eller  , de komplekse tal, men vektorrum over andre legemer betragtes også. Hvis man i det ovenstående udskifter legemet   med en generel ring, omtaler man ikke   som et vektorrum, men som en modul (eller et modul).

Vektorrum er centrale inden for disciplinen lineær algebra, men de forekommer også inden for (stort set alle) mere avancerede matematiske områder.

Tilknyttede begreberRediger

UnderrumRediger

En ikke-tom delmængde   kaldes et underrum af vektorrummet, hvis det er lukket under addition af vektorer og multiplikation med skalar, altså hvis   er indeholdt i   for alle   og   er indeholdt i   for alle vektorer   og skalarer  . Et underrum af et vektorrum   er i sig selv et vektorrum (over samme legeme), med de samme (men restringerede) regneoperationer.

Linearkombination, basis og dimensionRediger

En mængde   af vektorer fra   kaldes en basis for vektorrummet hvis det gælder at ethvert element   på én og kun én måde kan opskrives som et udtryk af typen

 

hvor alle   og alle  . En sum af denne type kaldes i øvrigt en linearkombination.

Alle baser for et bestemt vektorrum består af lige mange elementer. Dette antal (der eventuelt kan være et transfinit kardinaltal) kaldes vektorrummets dimension.

Hvis dimensionen er endelig, kan et valg af en fast basis bruges til at koordinatisere vektorrummet.

Hvis   er et endeligt legeme med   elementer, og   er et  -dimensionalt vektorrum over  , så indeholder   præcis   vektorer.

EksemplerRediger

Standardeksemplet på et vektorrum (over  ) er  , planen. Vektorerne er da talpar   som kan repræsenteres ved pile. Sådanne vektorer kendes fra gymnasiet. Generalisationen til  , talsæt af typen  , er ligetil.

Mængden af alle "formelle" polynomier (med reelle koefficienter) i en (abstrakt) variabel   er et vektorrum. To polynomier kan nemlig adderes hvorved man får et nyt polynomium, man kan gange et polynomium med et tal, og alle ovenstående aksiomer (krav) er opfyldt.

Mængden af sådan polynomier af grad højst 2 er et underrum heraf. Dette underrum har dimension 3 da en basis for det fx er  .

Lad   være en vilkårlig (definitions)mængde. Så er mængden af alle afbildninger   et vektorrum. Addition og multiplikation er de oplagte

  •  
  •  

For eksempel er mængden af alle funktioner   et vektorrum over  .

Mængden af integrable (se integralregning) reelle funktioner på   er ligeledes et vektorrum, og underrum af ovennævnte. Et underrum heraf igen kunne være  , mængden af vilkårligt ofte differentiable funktioner på  .

En etpunktsmængde   er et trivielt vektorrum (addition og multiplikation kan kun defineres på én måde). Basis for dette vektorrum er den tomme mængde,  ; derfor er dimensionen af det trivielle vektorrum 0.


 Stub
Denne artikel om matematik er kun påbegyndt. Hvis du ved mere om emnet, kan du hjælpe Wikipedia ved at udvide den.