Ækvivalensrelation

En ækvivalensrelation på en mængde X er en relation, der opfylder følgende for alle

  1. Refleksiv:
  2. Transitiv
  3. Symmetrisk:

Ækvivalensrelationer bliver ofte betegnet med en tilde, sådan at bliver skrevet . Med denne notation kan aksiomerne omskrives:

  1. Refleksiv: a ~ a for alle aX.
  2. Transitiv: a ~ b og b ~ ca ~ c for alle a, b, cX.
  3. Symmetrisk: a ~ bb ~ a for alle a, bX.

Er a ~ b siger man, at a og b er ækvivalente.

På enhver mængde X er relationen lighed (=) og relationen, hvor alle elementer i X er ækvivalente, begge ækvivalensrelationer. Det er den mindste hhv. største ækvivalensrelation på X. Opfattet som mængder er lighed nemlig diagonalen { (a, a) | aX }, og den anden relation er hele X×X.

Givet en ækvivalensrelation ~ på en mængde X kan man dele X op i en række delmængder, hvor alle elementer er indbyrdes ækvivalente. Disse delmængder kaldes ækvivalensklasser og skrives typisk vha. en repræsentant for klassen: [a] = { bX | a ~ b } ⊆ X. Mængden af alle disse ækvivalensklasser betegnes X/~, og de udgør en partition af X. Dvs. at alle ækvivalensklasser er disjunkte, og foreningen af dem alle er X.

Omvendt kan man også konstruere en ækvivalensrelation på en mængde X ud fra en partition (Xα), ved at sætte a ~ ba og b er indeholdt i samme Xα.

EksemplerRediger

På de hele tal Z kan man definere relationen ~ ved

a ~ b ⇔ 4 | ab.

Her skal 4 | x betyde "4 går op i x". Denne relation kaldes kongruens modulo 4 ("a og b er kongruente modulo 4"), og er en ækvivalensrelation, da

  1. 4 | aa = 0 ⇒ a ~ a,
  2. a ~ b og b ~ c ⇒ 4 | ab og 4 | bc ⇒ 4 | (ab) + (bc) = aca ~ c,
  3. a ~ b ⇒ 4 | ab ⇒ 4 | -(ab) = bab ~ a,

for alle a, b, cZ.

Mængden af ækvivalensklasser mht. denne relation Z/~ kommer nu til at bestå af disse fire mængder:

  • [0] = [4] = [508] = { ..., -8, -4, 0, 4, 8, ... } = { 4n | nZ }
  • [1] = [5] = [-47] = { ..., -7, -3, 1, 5, 9, ... } = { 4n + 1 | nZ }
  • [2] = [-2] = [3438] = { ..., -6, -2, 2, 6, 10, ... } = { 4n + 2 | nZ }
  • [3] = [-1] = [8999] = { ..., -5, -1, 3, 7, 11, ... } = { 4n + 3 | nZ }

Indenfor gruppeteori kan dette generaliseres: hvis   er en delgruppe af en gruppe  , så er to elementer   højrekongruente modulo   hvis  .[1] Dette definerer en ækvivalensrelation, da

  1.  , hvor 1 er neutralelementet i   (og dermed også  )
  2.  
  3.  

Ligeledes defineres venstrekongruens ved  . Hvis disse to er sammenfaldende, siges   at være en normal delgruppe af  .

På mængden af alle mennesker har man relationen "født i samme stjernetegn som". Dette er en ækvivalensrelation, da

  1. enhver er født i samme stjernetegn som sig selv,
  2. hvis a er født i samme stjernetegn som b og b er født i samme stjernetegn som c, så er a også født i samme stjernetegn som c,
  3. hvis a er født i samme stjernetegn som b, så er b også født i samme stjernetegn som a.

Dette deler alle mennesker ind i 12 ækvivalensklasser af folk, der er født i samme stjernetegn.

ReferencerRediger

  1. ^ Hungerford, T. W.: Algebra, s. 37. (c) Springer-Verlag 1974.
 Stub
Denne artikel om matematik er kun påbegyndt. Hvis du ved mere om emnet, kan du hjælpe Wikipedia ved at udvide den.