Bruger:AstroOgier/Prototypekilogrammets dimensioner
Det oprindelige prototypekilogram og dets kopier var fremstillet af en legering af ædelmetallerne platin og iridium med 90% platin og 10% iridium (for at øge hårdheden) og formen var specificeret til at være en cylinder med samme højde og diameter (for at minimere overfladearealet).
I det følgende beregnes, hvilken værdi og skal have for at opfylde kravene og det begrundes, at en cylinder med faktisk har mindst overfladeareal.
Prototypekilogrammets dimensioner
redigérVolumen af en cylinder med højde og diameter : | |
Volumen af en cylinder med : | |
Masse af cylinderen: | |
Massebrøk for platin: | |
Massebrøk for iridium: | |
Densiteten af platin: | |
Densiteten af iridium: | |
Masse af platin: | |
Masse af iridium: | |
Volumen af platin: | |
Volumen af iridium: | |
Volumen af cylinderen: | |
Densiteten af cylinderen: | |
Højde og diameter af cylinderen: |
Mindste overfladeareal af en cylinder med givet volumen V
redigérOverfladen af en cylinder med højde og diameter udgøres af de to endeflader, hver med arealet og af den krumme cylinderflade med arealet :
Cylinderens volumen blev angivet i forrige afsnit:
Heraf isoleres :
- .
Da volumen har en given, fast værdi, afhænger kun af . Den fundne -værdi indsættes i udtrykket for :
Vi ser, at er positiv og går mod uendelig både for gående mod 0 og for gående mod uendelig. må derfor have en mindsteværdi, som vi kan bestemme ved hjælp af differentiation:
Dette minimumssted indsættes i formlen for højden :
Vi har dermed vist det ønskede resultat: .