Diskussion:Goldbachs formodning
Uden overskrift redigér
Goldbachs formodning: "Ethvert lige tal større end fire kan skrives som summen af to ulige primtal."
Ifølge primtalssætningen er det forventede antal ulige primtal < n
integralum pro x ab e ad n de 1/log(x),
hvilket er selvkonsistent:
Givet statistisk uafhængighed er sandsynligheden for, at n ulige er primtal, med visse tilnærmelser:
productum pro p primum ab e ad sqrt(n) de (1 - 1/p)
= exp(summa pro p primum ab e ad sqrt(n) de - 1/p)
= exp(integralum pro x ab e ad sqrt(n) de - 1/x*1/log(x))
= exp(differens pro x aequat sqrt(n) e que de - log(log(x)))
= 2/log(n),
og med x lige eller ulige bliver den såkaldte sandsynlighed 1/log(x).
Givet n lige > 4, og givet statistisk uafhængighed og de sædvanlige tilnærmelser, bliver sandsynlighed for, at n > 2*e jo ikke kan skrives som summen af to ulige primtal,
productum pro p primum ab e ad n/2 de (1 - 2/log(n - p))
= exp(integralum pro x ab e ad n/2 de - 2/(log(n - x)*log(x)))
> exp(- (n/2 - e)*(1/log(n - e) + 1/sqr(log(n/2)))) .
Til sidst blev benyttet en trapezsum, og ved hjælp af Jensens ulighed var integralet større end trapezsummen.
En bedre tilnærmelse til integralet opnås ved hjælp af rektanglet med højde på den geometriske middel af ordinatens minimum og maksimum:
-2/(sqrt(log(n - e))*log(n/2))
og grundlinje på differensen imellem abscisserne (n/2 - e),
som ville give:
(2*e - n)/(log(n/2)*sqrt(log(n - e))).
I det følgende spiller da kun tælleren (2*e - n) en rolle, da nævneren > 1.
Den bedste tilnærmelse til det samme integral er dog følgende øvre værdi:
(2*e - n)/sqr(log(n/2)).
Det forventede antal modeksempler til Goldbachs formodning er dermed
integralum pro x ab 2*e ad infinitum de 1/2*exp(- (x/2 - e)*(1/log(x - e) + 1/sqr(log(x/2))))
> integralum pro x ab 2*e ad infinitum de 1/2*exp(2*e - x)
= 0.5.
Ulighedstegnene spiller ingen rolle, da vi taler om sandsynlighed, da formodningen ikke er bevist, og da intet modeksempel endnu er fundet.
I stedet for dets omskrevne trapez (som stadig var trapezsum, selv om der kun var et) er den bedste tilnærmelse til det omtalte integral dets indskrevne rektangel:
(2*e - n)/sqr(log(n/2)) med negativt areal.
Idet nævneren > 1, spillede kun tælleren en rolle i det følgende gæt på antallet af modeksempler n > 2*e.
Hvis nogen kan beregne det højeste gæt i stedet for, som følger:
integralum pro x ab 2*e ad infinitum de 1/2*exp((2*e - x)/sqr(log(x/2))),
tipper de såkaldte odds til fordel for et modeksempel, hvilket jo opvejes af, at empirien ikke har fundet dette.
Som sådan er odds stadig fifty:fifty.
Advarsel: I det følgende benyttes dels analytisk kontinuation på fortsat partiel integration, dels sqr((q - p)/2) = 0.
Lad x, y > e, og z > 0.
Integralum pro x ab e ad y de 1/log(x)
= y/log(y) * summa pro k ab nulla ad infinitum de (1/log(y))^k*(1/k!)^z,
for z = -1 ved hjælp af analytisk kontinuation.
Lad y være primtalskvadrat. Så findes den indskevne rektangelsum: med nedre abscis på 1 og øvre abscisser på primtals-kvadrater p*p og højder på disses ordinater 1/log(p*p) at give en god tilnærmelse til antallet af primtal < y.
Summa pro p primum ab 2 ad q = sqrt(y) de 1/log(p*p) * (incrementum in p*p),
hvor incrementum in 2*2 må regnes relativt til 1*1.
Disse to tilnærmelser tæller henholdsvis de ulige p (e < p < y) og alle p (1 < p < q*q).
Ved hjælp af trapezsum imellem primtalskvadrater ser man nemt, at primtals-sætningen overtæller primtallene r i intervallet:
x = p*p < r < y = q*q, med:
1/2 * (1/log(p*p) - 1/log(q*q))*(q*q - p*p),
som v.h.a. af de sædvanlige tilnærmelser, samt
q - p = log(sqrt(p*q)),
og p*q = z = sqr((p+q)/2):
1/2 * ((log(q*q) - log(p*p)) /sqr(log(p*q)) * (q*q - p*p)
= (log(q) - log(p)) /sqr(log(p*q)) * (q*q - p*p)
= (q - p)/sqrt(p*q) /sqr(log(p*q)) *(q + p)*(q - p)
= 2*sqr(log(sqrt(p*q))) /sqr(log(p*q)) = 1/2.
Og intervallet var
q*q - p*p = 2*sqrt(z)*log(sqrt(z)).
Med andre ord har man nemt set, at den såkaldte sandsynlighed overtælles med
1/(2*sqrt(z)*log(z)).
- @Robertsku: Jeg forstår ikke hvorfor du lægger disse betragtninger ud på diskussionssiden. Hvis du har brug for en kladdeside til brug for arbejde med artiklen, kan du fx bruge din sandkasse. Og spørg evt. om hjælp i Hjælp:Nybegynderforum. --Madglad (diskussion) 28. sep 2020, 10:48 (CEST)