Åbn hovedmenuen

Inden for sandsynlighedsregning er en fordelingsfunktion for en stokastisk variabel en særlig funktion hvorudfra alt det sandsynlighedsmæssigt interessante (fordelingen) ved kan udledes.

DefinitionRediger

Værdien af fordelingsfunktionen   i et punkt   er defineret som sandsynligheden for at den betragtede stokastiske variabel   højst er  , altså

 

hvor   er sandsynlighedsmålet.

Simpel anvendelseRediger

Ovenstående kan også fortolkes som en interval-sandsynlighed:

 

Ønsker man et begrænset interval, foregår det simpelthen således:

 

Ekstra omhu må udvises ved endepunkterne. For eksempel fås sandsynligheden for et kompakt interval ved

 

hvor grænseværdien er for   gående mod   fra venstre. Tilsvarende er punktsandsynligheden

 

EgenskaberRediger

Enhver fordelingsfunktion   har følgende egenskaber:

  •   er (ikke nødvendigvis strengt) voksende. Det vil sige at   medfører  .
  •   har asymptoterne   for  , samt   for  .
  •   er kontinuert fra højre men ikke nødvendigvis kontinuert. Altså   for   i ethvert punkt  .

Omvendt vil en vilkårlig funktion med ovennævnte egenskaber være en fordelingsfunktion for en passende stokastisk variabel (i et passende sandsynlighedsfelt).

Såfremt   er en kontinuert funktion (altså også fra venstre), behøver man ikke at bekymre sig om hvorvidt endepunkter er med eller ej (ulighedstegn er skarpe eller bløde). Det er tilfældet netop hvis alle punktsandsynligheder   er nul.

Hvis fordelingen endda er absolut kontinuert, eksisterer der en passende funktion   (se tæthedsfunktion) således at fordelingsfunktionen fremkommer ved integration:  . En absolut kontinuert fordeling er også kontinuert.

Hvis den stokastiske variabel er diskret, er grafen for   en trappekurve bestående af vandrette linjestykker. Springene som   tager mellem "trinnene", svarer da til punktsandsynlighederne, og   kan da beregnes ved at summere alle disse spring op til det betragtede punkt.