Ækvivalensrelation: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
m bot: indsæt skabelon autoritetsdata |
Gamren (diskussion | bidrag) No edit summary |
||
Linje 1:
En '''ækvivalensrelation''' <math>R</math> på en mængde ''X'' er en [[relation (matematik)|relation]]
# Refleksiv: <math>(a,a)\in R</math>
# Transitiv <math>(a,b)\in R\wedge (b,c)\in R\Rightarrow (a,c)\in R</math>
# Symmetrisk: <math>(a,b)\in R\Rightarrow (b,a)\in R</math>
Ækvivalensrelationer bliver ofte betegnet med en tilde, sådan at <math>(a,b)\in R</math> bliver skrevet <math>a \sim b</math>. Med denne notation kan aksiomerne omskrives:
# Refleksiv: ''a'' ~ ''a'' for alle ''a'' ∈ ''X''.
# Transitiv: ''a'' ~ ''b'' og ''b'' ~ ''c'' ⇒ ''a'' ~ ''c'' for alle ''a'', ''b'', ''c'' ∈ ''X''.
Line 15 ⟶ 20:
== Eksempler ==
På de [[hele tal]] '''Z''' kan man definere relationen ~ ved
: ''a'' ~ ''b'' ⇔ 4 | ''a'' – ''b''.
Her skal 4 | ''x'' betyde "4 går op i ''x''".
# 4 | ''a'' – ''a'' = 0 ⇒ ''a'' ~ ''a'',
# ''a'' ~ ''b'' og ''b'' ~ ''c'' ⇒ 4 | ''a'' – ''b'' og 4 | ''b'' – ''c'' ⇒ 4 | (''a'' – ''b'') + (''b'' – ''c'') = ''a'' – ''c'' ⇒ ''a'' ~ ''c'',
Line 23 ⟶ 28:
for alle ''a'', ''b'', ''c'' ∈ '''Z'''.
Mængden af ækvivalensklasser mht. denne relation '''Z'''/~ kommer nu til at bestå af disse fire mængder:
* [0] = [4] = [508] = { ..., -8, -4, 0, 4, 8, ... } = { 4''n'' | ''n'' ∈ '''Z''' }
Line 28 ⟶ 34:
* [2] = [-2] = [3438] = { ..., -6, -2, 2, 6, 10, ... } = { 4''n'' + 2 | ''n'' ∈ '''Z''' }
* [3] = [-1] = [8999] = { ..., -5, -1, 3, 7, 11, ... } = { 4''n'' + 3 | ''n'' ∈ '''Z''' }
Indenfor [[gruppeteori]] kan dette generaliseres: hvis <math>H</math> er en delgruppe af en [[gruppe]] <math>G</math>, så er to elementer <math>a,b\in G</math> ''højrekongruente modulo <math>H</math>'' hvis <math>ab^{-1}\in H</math>.<ref>Hungerford, T. W.: ''Algebra'', s. 37. (c) Springer-Verlag 1974.</ref> Dette definerer en ækvivalensrelation, da
# <math>aa^{-1}=1\in H</math>, hvor 1 er neutralelementet i <math>G</math> (og dermed også <math>H</math>)
# <math>ab^{-1}\in H \wedge bc^{-1}\in H\Rightarrow (ab^{-1})(bc^{-1})=ac^{-1}\in H</math>
# <math>ab^{-1}\in H \iff (ab^{-1})^{-1}=ba^{-1} \in H</math>
Ligeledes defineres venstrekongruens ved <math>b^{-1}a\in H</math>. Hvis disse to er sammenfaldende, siges <math>H</math> at være en ''[[normal delgruppe]]'' af <math>G</math>.
På mængden af alle mennesker har man relationen "født i samme stjernetegn som". Dette er en ækvivalensrelation, da
Line 35 ⟶ 47:
Dette deler alle mennesker ind i 12 ækvivalensklasser af folk, der er født i samme stjernetegn.
==Referencer==
<references/>
{{matematikstub}}
{{autoritetsdata}}
| |||