Versionen fra 25. mar. 2020, 17:59 redigér Martin Skogstad von Qualen (diskussion \| bidrag) 41 edits m Euler e ændret til ikke kursiv ← Gå til forrige forskel		Versionen fra 25. mar. 2020, 18:10 redigér fjern redigering Martin Skogstad von Qualen (diskussion \| bidrag) 41 edits m Differentielle d'er er ændret til ikke kursiv Gå til næste forskel →
Linje 3: '''Maxwell-Boltzmann-fordelingen''' beskriver [[hastighed]]s- og [[fart]]fordelingen af [[partikel (fysik)\|partiklerne]] i en [[idealgas]] i [[termisk ligevægt]] jf. den [[kinetiske gasteori]]. Fordelingen af fart <math>v</math> er givet ved: :<math>f(v)=\frac{4}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{m}{2k_{\text{B}}T}\right)^{\frac{3}{2}}v^2\text{e}^{-\frac{mv^2}{2k_{\text{B}}T}}</math> hvor <math>T</math> er gassens [[temperatur]], <math>k_{\text{B}}</math> er [[Boltzmanns konstant]], og <math>m</math> er en enkelt partikels [[Masse (fysik)\|masse]]. Hvis en tilfældig partikel i gassen udvælges, er sandsynligheden for, at den har en fart i intervallet <math>v</math> til <math>v+dv\text{d}v</math> altså givet ved <math>f(v)dv\text{d}v</math>.<ref name="blundell 46-48">{{cite book \|last1= Blundell \|first1= Stephen J. \|authorlink1= \|last2=Blundell \|first2= Katherine M. \|authorlink2= \|coauthors= \|editor1-first= \|editor1-last= \|editor1-link= \|others= \|title= Concepts in Thermal Physics \|edition= 1. \|year= 2006 \|publisher= Oxford University Press \|location= \|language= engelsk \|isbn= 978-0-19-856770-7 \|page= 46-48 \|chapter= 5 The Maxwell–Boltzmann distribution}}</ref> == Udledning == Linje 20: [[Fil:The Gaussian integral.svg\|thumb\|right\|En én-dimensionel normalfordeling omkring 0.]] Det ses, at fordelingen er fordelt [[sfærisk symmetrisk]] omkring 0 som en [[normalfordeling]], hvilket vil sige, at partiklerne ikke bevæger sig i en foretrukken retning. For at normere fordelingen skal integralet give 1: :<math>\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f_{\vec{v}}(v_x,v_y,v_y) ~~dv_x~~\text{d}{{v}_{x}} ~~dv_y~~\text{d}{{v}_{y}} ~~dv_z~~\text{d}{{v}_{z}} = 1</math> Da det [[gaussiske integrale]] er<ref name="blundell 437">{{cite book \|last1= Blundell \|first1= Stephen J. \|authorlink1= \|last2=Blundell \|first2= Katherine M. \|authorlink2= \|coauthors= \|editor1-first= \|editor1-last= \|editor1-link= \|others= \|title= Concepts in Thermal Physics \|edition= 1. \|year= 2006 \|publisher= Oxford University Press \|location= \|language= engelsk \|isbn= 978-0-19-856770-7 \|page= 437 \|chapter= C.2 The Gaussian integral}}</ref> :<math>\int_{-\infty}^{\infty}\text{e}^{-\alpha x^2}dx\text{d}x=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}</math> må det for fordelingsfunktionen gælde: <div style="overflow:auto;"> :<math>\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \text{e}^{-\frac{mv_x^2}{2k_{\text{B}}T}}\text{e}^{-\frac{mv_y^2}{2k_{\text{B}}T}}\text{e}^{-\frac{mv_z^2}{2k_{\text{B}}T}} ~~dv_x~~\text{d}{{v}_{x}} ~~dv_y~~\text{d}{{v}_{y}} ~~dv_z~~\text{d}{{v}_{z}} = \int_{-\infty}^{\infty} \text{e}^{-\frac{mv_x^2}{2k_{\text{B}}T}} ~~dv_x~~\text{d}{{v}_{x}} \int_{-\infty}^{\infty} \text{e}^{-\frac{mv_y^2}{2k_{\text{B}}T}} ~~dv_y~~\text{d}{{v}_{y}} \int_{-\infty}^{\infty} \text{e}^{-\frac{mv_z^2}{2k_{\text{B}}T}} ~~dv_z~~\text{d}{{v}_{z}}=\sqrt{\frac{2\pi k_{\text{B}}T}{m}} \sqrt{\frac{2\pi k_{\text{B}}T}{m}} \sqrt{\frac{2\pi k_{\text{B}}T}{m}}</math> </div> Dermed er fordelingsfunktionen for hastigheder Linje 40: [[Fil:MaxwellBoltzmann-en.svg\|thumb\|right\|Fartfordelingen for forskellige [[ædelgas]]ser ved 298.15 K (25 °C). Jo lettere atomerne er, jo mere udfladet er fordelingen.]] For at finde fartfordelingen skal hastihedernes retninger integreres væk. Pga. symmetrien kan [[sfæriske koordinater]] med fordel bruges: :<math>\int_{\Omega}\int_{0}^{\infty}f_{\vec{v}}(v,\Omega) v^2 dv \text{d}v\text{d}\Omega= 1</math> Her er <math>\Omega</math> [[Rumvinkel\|rumvinklen]]. Integralet over rumvinklen er <math>4\pi</math>, så fartfordelingen bliver {{Equation box 1

Maxwell-Boltzmann-fordelingen: Forskelle mellem versioner