Matrix: Forskelle mellem versioner

Der er et antal rækker og et antal søjler af elementer i en matrix, normalt mindst en række og en søjle, i hvilket tilfælde man ville kalde det en [[Skalar (matematik)|skalar]]. Ved at organisere tal i en simpel [[Struktur (matematik)|struktur]] kan man behandle mange tal så at sige engross''[[en gros]]'' ikke bare addere og gange dem, men man kan lettere udlede forskellige egenskaber tallene imellem. Man kan opstille formler med matricer som er meget lettere at forstå end mange uoverskuelige ligninger.

Matricer blev vistnok i Europa brugt først af Gottfried Leibniz in 1693; men hovedsagelig til løsning af lineære ligninger hvilket også Gauss og Leibnitz gjorde.<ref>A. Cayley A memoir on the theory of matrices</ref>.Cauchy var den første der brugte en 3x3 matrix i forbindelse med stress i materialer. Først i begyndelsen af forrige århundrede kom der gang i brugen af matricer. Et kuriosum er at Werner Heisenberg, som opfandt matrix formuleringen af kvantemekanikken[[kvantemekanik]]ken i 1925, ikke vidste hvordan man ganger to matricer med hinanden. Noget der er helt utænkelig i dag, og som læres allerede på højere gymnasie niveaugymnasieniveau. I dag bruges de næsten overalt og de er uundværlige inden for ingeniørvidenskaberne, den klassiske og moderne fysik, kemien, optikken, elektromagnetisme, computergrafik, sandsynlighedsteori, matrix Kalkulus, i kvantemekanikken og mange andre steder.

[[Kvadratform matricer]] er en særlig interessant kategori af matricer. Der findes en [[enhedsmatrix]] I, som gange med en vilkårlig kvadratform matrix A giver A som resultat A I = I A = A. også, forudsat A's [[Invers matrix|inverse matrix]] existerereksisterer, A^-1 A = A A^-1 =I, og (A^-1)^-1 =A. Det gælder '''ikke''' generelt at A B = B A. Man skal derfor sikre at man multiplicerer fra den rigtige side, Højre eller venstre multiplication. Alle elementerne forskellig fra nul i en enhedsmatrix befinder sig i hoveddiagonalen:

Siden matricer kan ganges med hinanden og med sig selv kan de også være eksponenter, her i matrix versionen af [[Eulers identitet|Eulers berømte ligning]]

En matrix ligningmatrixligning A X = B kan løses ved at multiplicere med A^-1 på venstre side A^-1 A X = A^-1 B ⇒ I X = A^-1 B ⇒ X = A^-1 B. Det kan kun lade sig gøre når A er en [[regulær matrix]]. Det er ikke altid det mest effektive, fordi det koster tid at finde en matrix invers. Computer programmerComputerprogrammer der løser matrix ligningermatrixligninger anvender afhængigt af anvendelsen mange forskellige strategier for at opnå en god effektivitet. .

Matricer er ofte sparsomme. Sparsomme matricer er defineret som matricer hvor halvdelen af indgangene (elementerne) er nul. En sådan matrix kan fx indeholde en million indgange, men kun 1 procent er forskellig fra nul. Det forårsager et stort spild af tid og hukommelse hvis man bare forsøger at behandle dem som almindelige matricer. En af de mange måder at lagre sparsomme matricer på er ved kun at lagre værdierne, der er forskellig fra nul med deres koordinater i matricen. Disse matricer kan fx opstå ved beskrivelse af [[Graf (diskret matematik)|grafer]].

Båndmatricer, hvor indgangene grupperer sig omkring hoveddiagonalen, forekommer ved numerisk løsning af partielle differentialligninger hvor relationerne mellem indgangene er lokal. Dette opstår fx for en numerisk løsning til en partiel differentialligning, ved projektion af den teoretisk korrekte løsning på et valgt manifold [[Galerkin method-metode]]enn.

En anden type Matrix ligningermatrixligninger, som bruges inden for mange områder, er A X = kX, hvor k er en skalar (konstant) og X en [[søjlevektor]]. k kaldes en egenværdien[[egenværdi]]en til A og X kaldes egenvektoren[[egenvektor]]en til k. Der er højst n forskellige egenværdier hvis matricen er en nxn Matrix. Man finder : A X = k I X ⇒ ( A - k I) X = 0, (X antaget forskellig fra 0). Tallet k er en egenværdi hvis og kun hvis matricen ( A - k I) er singulær, det modsatte af regulær. Det vil sige at [[determinaten]] det(A - k I ) er lig nul. Man får en ligning af nte grad i k og der er altså n løsninger (i der komplekse rum) ifølge [[algebraens fundamentalsætning]].

En speciel type matricer har kun reelle egenværdier det er symmetriske kvadratform matricer og Hermitiske matricer opkaldt efter [[Charles Hermite]] som i 1855 demonstrerede at disse matricer ligesom de reelle symmetriske matricer har reelle [[Egenværdi, egenvektor og egenrum|Egenværdieregenværdier]]. Disse matricer bruges inden for kvanteteorien som ''Observable'' (da?).

Dimensionen af en matrix er produktet af antallet af indgange i søjlerne og indgange i rækkerne. En matrix A med m rækker og n søjler kaldes en m x n matrix ''m''-gange-''n''-matrix" og for en reel matrix A ∈ '''R'''^{mxn} eller om man vil Mat_m,n('''R'''). En matrix med det samme antal søjler og rækker har kvadratiskformkvadratisk form. Matricer som består af kun en søjle eller en række kaldes ofte en [[vektor]], nærmere betegnet en søjlevektor eller en række vektor. Når man ganger to matricer tager man en række i fra den første og en søjle j fra den anden og ganger dem, resultatet er et tal/objekt der skal placeres i resultat matricen i indgang (i,j). Rækken i og søjlen j skal have samme antal indgange.