Forskel mellem versioner af "Eksponentiel udvikling"

3.077 bytes tilføjet ,  for 15 år siden
Fra stub til velvoksen artikel
 
(Fra stub til velvoksen artikel)
==Eksponentiel udvikling skriveskort :fortalt==
En '''eksponentiel udvikling''' er en slags [[Matematik|matematisk]] model, som kan bruges til beskrive forskellige sammenhænge; typisk hvordan bestemte ting forandrer sig med tiden: Specielt for eksponentielle udviklinger gælder, at <em>målt hen over lige store tidsintervaller stiger eller falder den (tids-)afhængige variabel med lige store forholdstal</em>.<br>
f(x)=b*a^x
Her er nogle eksempler på fænomener der følger (eller kan følge) en eksponentiel udvikling:
* "Renters rente" er et klassisk eksempel på en eksponentiel udvikling: Placerer man én gang for alle nogle penge et sted hvor man kan forvente en konstant [[rente]], vil saldoen som følge af renterne være eksponentielt voksende.
* Hvis [[fødselsrate]]n i en befolkning ligger højere eller lavere end hvad der er nødvendigt for at opretholde et konstant befolkningstal, vil befolkningstallet (til at begynde med) følge en eksponentielt voksende eller aftagende udvikling.
* Strålingen fra en prøve af et [[Radioaktivitet|radioaktivt]] stof (som henfalder til en stabil isotop) vil aftage eksponentielt over tid. Hvor hurtigt strålingen aftager, beskrives ofte ved den såkaldte [[halveringstid]].
* Temperaturforskellen mellem f.eks. en varm småkage og den konstante stuetemperatur omkring den aftager eksponentielt med tiden.
 
==Matematikken i en eksponentiel udvikling==
x er tidsparameteret. (måles i år)
Matematisk set beskrives den eksponentielle udvikling således:<br>
b er "mængden" ved tiden 0.
''y'' = ''b'' &middot; ''a<sup>x</sup>''<br>
hvor
* ''x'' er den uafhængige variabel (som regel målt i tid).
* ''y'' er den afhængige variabel.
* ''a'' er det forholdstal som ''y'' ændrer sig med, når ''x'' stiger eller falder med 1: Hvis ''a'' < 1 er ''y'' eksponentielt aftagende, hvis ''a'' > 1 er den eksponentielt voksende, og hvis ''a'' = 1 er ''y'' konstant.
* ''b'' er den størrelse ''y'' har når ''x'' er lig med nul.
En eksponentiel udvikling kan beskrives ved de to tal ''a'' og ''b'': Givet disse tal kan man med ovenstående regneudtryk svare på spørgsmål om hvor stor den undersøgte størrelse ''y'' var eller vil være til et givent tidspunkt ''x''. Med lidt omregning kan man tilsvarende bestemme hvornår ''y'' når eller nåede en bestemt værdi.<br>
Givet to sammenhørende par af ''x'' og ''y'' (f.eks. oplysninger om et eksponentielt voksende indbyggertal to givne, forskellige år) kan man bestemme værdierne af ''a'' og ''b'', og derefter bruge formlen til at fremsætte prognoser som beskrevet ovenfor.
 
Størrelsen af ''a'' er somme tider givet indirekte i form af et (for voksende eksponentielle udviklinger) fordoblings- eller (for aftagende udviklinger) halveringstal (eller -konstant): Dette er et udtryk for hvor stor ændring i den uafhængige variabel ''x'' der "skal til" for at få fordoblet hhv. halveret den afhængige variabel ''y''.
Hvis fordoblingstallet eller fordoblingstiden kaldes for T, gælder:<br>
<math>a = 2^{\frac{1}{T}} \Leftrightarrow T=\frac{\ln 2}{\ln a}</math><br>
Udtrykt ved halveringstallet eller halveringstiden t gælder:<br>
<math>a = \left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{1}{t}} \Leftrightarrow t=\frac{\ln \frac{1}{2}}{\ln a}</math><br>
 
[[Kategori:Matematik]]
3.384

redigeringer