Induktion (matematik): Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
No edit summary |
Thomaxz (diskussion | bidrag) m Fjerne version 10. jan 2008, 10:43 62.242.40.67, Gendann til version 25. okt 2007, 14:45 DragonBot (diskussion | bidrag) m (3.386 bytes) (robot Tilføjer: bn:গাণিতিক আরোহ বিধি) (gendan) Hærværk |
||
Linje 1:
'''Induktion''' er en bestemt type [[matematisk bevis]], som er meget velegnet til at bevise at en [[matematisk]] [[hypotese]] er sand for alle [[naturlige tal]], eller andre [[talmængde]]r, som er [[velordnet]].
Induktionsprincippet består af 2 skridt: '''basisskridtet''' (induktionsstarten, startbetingelsen) og '''induktionsskridtet'''.
# Basisskridt: I basisskridtet beviser man at hypotesen er sand ved det mindste tal i talmængden. Dette er typisk 1, da man ofte vil bevise sætningen for de naturlige tal.
# Induktionsskridt: I induktionsskridtet beviser man, at hvis hypotesen gælder for tallet ''n'' (denne antagelse kaldes induktionsantagelsen), så gælder den også for tallet ''n''+1.
På denne måde kan man bevise at hypotesen gælder for alle hele tal fra basisskridtet og opefter. Hvis tilfælde 1 er sand, så er tilfælde 2 også sand, da tilfælde 1 er sand. Så er 3 også sand, når 2 er sand, osv.
Dette princip kan sammelignes med [[dominoeffekt]]en. Hvis du har en lang række dominobrikker stående efter hinanden, kan du udlede følgende:
# Basisskridt: Den første dominobrik vælter.
# Induktionsskridt: Når en dominobrik vælter, vil den næste vælte.
Derfor vil alle dominobrikker vælte.
==Eksempel==
Vi ønsker at bevise følgende sætning med induktionsmetoden:
::<math>\sum_{i=1}^n(2i-1)=n^2 , \qquad n \in N.</math>
Først beviser vi at basisskridtet er sand, dvs. at sætningen er sand ved ''n''=1:
::<math>\sum_{i=1}^1(2i-1)=2\cdot 1-1=1=1^2.</math>
Vi har hermed bevist at sætningen er sand, hvis ''n'' er 1. Vi vil nu bevise induktionsskridtet ved at bevise, at hvis sætningen gælder for ''n'', dvs. at hvis
::<math>\sum_{i=1}^n(2i-1)=n^2 ,</math>
så gælder den også for ''n''+1. Vi skal altså vise følgende ligning:
::<math>\sum_{i=1}^{n+1}(2i-1)=(n+1)^2.</math>
Først skiller vi udtrykket lidt ad:
::<math>\sum_{i=1}^{n+1}(2i-1)=\sum_{i=1}^{n}(2i-1)+(2(n+1)-1).</math>
Vi bruger nu vores induktionsantagelse til at regne videre og får, at
::<math>\sum_{i=1}^{n}(2i-1)+(2(n+1)-1)=n^2+(2(n+1)-1).</math>
Så ganger vi parenteserne ud og reducerer:
::<math>n^2+(2(n+1)-1)=n^2+(2n+2-1)=n^2+2n+1=(n+1)^2.</math>
Vi har hermed bevist induktionsskridtet.
Basisskridtet og induktionsskridtet beviser i fællesskab, at sætningen gælder for alle de naturlige tal.
[[Kategori:Logik]]
[[Kategori:Matematiske beviser]]
{{Link AA|de}}
[[ar:استقراء رياضي]]
[[bg:Математическа индукция]]
[[bn:গাণিতিক আরোহ বিধি]]
[[ca:Prova per inducció]]
[[cs:Matematická indukce]]
[[de:Vollständige Induktion]]
[[el:Μαθηματική επαγωγή]]
[[en:Mathematical induction]]
[[es:Inducción matemática]]
[[fi:Matemaattinen induktio]]
[[fr:Raisonnement par récurrence]]
[[he:אינדוקציה מתמטית]]
[[hu:Teljes indukció]]
[[is:Þrepun]]
[[it:Principio d'induzione]]
[[ja:数学的帰納法]]
[[ko:수학적 귀납법]]
[[mk:Индукција]]
[[nl:Inductie (wiskunde)]]
[[no:Matematisk induksjon]]
[[pl:Indukcja matematyczna]]
[[pt:Indução matemática]]
[[ru:Математическая индукция]]
[[sk:Matematická indukcia]]
[[sl:Matematična indukcija]]
[[sr:Математичка индукција]]
[[sv:Induktion (matematik)]]
[[tr:Matematiksel tümevarım]]
[[zh:数学归纳法]]
[[zh-min-nan:Sò͘-ha̍k kui-la̍p-hoat]]
| |||