Mængde: Forskelle mellem versioner

== Foreningsmængde ==

[[Billede:Venn_A_union_B.png|thumb|150px|''A'' forenet med ''B'']]

Ofte har man behov for at konstruere nye mængder ud fra eksisterende. Eksempelvis kan to mængder blive "lagt sammen", idet man danner en mængde, der indeholder alle elementerne fra de to oprindelige mængder. Mængden betegnes foreningsmængden, og foreningsmængden af to mængder <math>A</math> og <math>B</math> betegnes <math>A \cup B</math>. Forenes <math>n</math> mængder, <math>X_1, X_2, \dots, X_n</math> benyttes ofte skrivemåden <math>\bigcup_{i=1}^n X_i</math>.

 

== Fællesmængde ==

[[Billede:Venn_A_intersect_B.svg|thumb|150px|''A'' snit ''B'']]

I analogi med ovenstående hænder det, at man ønsker at betragte mængder, der består af de elementer, flere mængder har til fælles. En sådan mængde kaldes fællesmængden. Fællesmængden af <math>A</math> og <math>B</math> betegnes <math>A \cap B</math>, og fællesmængden af mængderne <math>X_1, X_2, \dots, X_n</math> betegnes <math>\bigcap_{i=1}^n X_i</math>.

 

== Komplementærmængde ==

[[Billede:Venn_B_minus_A.png|150px|thumb|''B''\''A'']]

To mængder kan også "trækkes fra hinanden". Den relative komplement til <math>A</math> i <math>B</math> (også kaldet mængdedifferensen mellem <math>B</math> og <math>A</math>), betegnet <math>A \setminus B</math> (eller <math>A - B</math>) er mængden af alle elementer i <math>A</math>, der ikke er indeholdt i <math>B</math>; <math>A \setminus B = \{x \in A \mid x \notin B\}</math>.

 

 

==Åbne og lukkede mængder==

I [[topologi]] og relaterede matematiske emner er det ofte af afgørende karakter, om en betragtet mængde er åben eller lukket. En mængde <math>A</math> siges at være åben, hvis ethvert punkt i <math>A</math> er et [[indre punkt]] (altså at <math>\forall a \in A \exists r > 0: B_r(a) \subseteq A</math>). Således fås, at [[interval (matematik)|åbne intervaller]] i <math>\mathbb{R}</math>, såvel som <math>\mathbb{R}</math> selv er åbne mængder. En mængde siges at være lukket, hvis dens komplementærmængde er åben, som det f.eks. gælder for lukkede intervaller i <math>\mathbb{R}</math>. Herved bliver <math>\emptyset</math> og <math>\mathbb{R}</math> eksempler på mængder, der både er åbne og lukkede, mens halvåbne intervaller, hverken er åbne eller lukkede.