Positionstalsystem: Forskelle mellem versioner

Et '''positionstalsystem''' er et [[talsystem]], hvor værdien af et enkelt [[ciffer]] afhænger af, hvilken position det har i tallet. Det [[titalssystem]] vi i dag anvender er netop et positionstalsystem med faste pladser til énere, tiere, hundreder osv. [[Romertal]]lene er derimod et [[additivt talsystem]], da tallenes værdi altid er den samme uanset placering i det samlede tal.

 

Et positionstalsystem har et tilknyttet ''grundtal'', <math>n</math>, som samtidig angiver det antal forskellige symboler der skal bruges til at repræsentere cifre: Hver af disse ''n'' cifre tildeles en [[heltal]]lig værdi, fra og med [[0 (tal)|nul]], til og med <math>n-1</math>. Eksempelvis har det velkendte titalssystem grundtallet 10, og der bruges 10 forskellige slags cifre. Disse cifre repræsenterer "i sig selv" ''værdier'' fra og med 0, til og med <math>10-1=9</math>, og heraf følger at hvis man skal kunne skrive andre tal end nul, må der være mere end det ene ciffer; grundtallet skal med andre ord være mindst to.

 

Vægtene for de enkelte cifferpositioner kan beregnes ganske enkelt som grundtallet, for eksempel 10, opløftet til heltallige [[Potens (matematik)|potenser]] der svarer til cifferets position; 0 for det sidste ciffer (før et evt. decimalkomma); énerne, 1 for det næstsidste ciffer; tierne, 2 for tredjesidste ciffer; hundrederne, osv.. Bemærk, at eftersom ethvert tal opløftet til nul giver én, vil ethvert positionssystem altid have en position med vægten én; en plads der hedder "énere". Alle andre positioner har forskellige vægte i positionstalsystemer med forskellige grundtal, men "éner-pladsen" er et fællestræk for alle sådanne talsystemer.

 

 

Ved at "numerere" pladserne efter decimalkommaet "i forlængelse" af systemet før kommaet, får man følgende "mønster" for decimalernes vægte:

|}

 

Titalssystemets grundtal er, set fra et "rent matematisk" synspunkt, et arbitrært valg; de eneste krav matematikken stiller er at grundtallet er helt og større end én. Set fra et praktisk synspunkt skal grundtallet ikke være større end at "almindelige mennesker" relativt let kan lære og overskue det givne antal cifre, men omvendt betyder meget små grundtal at selv moderat store tal kræver mange cifre; i det [[binære talsystem]], som har det mindst mulige grundtal, 2, kræves der i gennemsnit cirka 3,3 gange så mange cifre som i titalssystemet for at skrive det samme tal. Alligevel frembyder netop det binære talsystem en fordel der udnyttes i stor stil i [[digital elektronik]], og i særdeleshed i [[computer]]e: De to mulige cifre, 0 og 1, repræsenteres ved henholdsvis et "afbrudt" og et "sluttet" [[elektronisk kredsløb]]. Information på denne måde kan derefter behandles af [[elektronik]]ken, ved hjælp af kredsløb der populært sagt kan "tænde og slukke for hinanden". Ulempen med de "uforholdsmæssigt" mange cifre opvejes derefter af at computeren selv kan omregne til/fra titalssystemet eller andre repræsentationer, så brugeren normalt aldrig "møder" de binære tal.

 

Tilsvarende er der visse talsystemer, for eksempel det [[Oktale talsystem|oktale]] og det [[hexadecimale talsystem]], som nemt kan "oversættes" til/fra det binære talsystem, fordi grundtallene <math>8=2^3</math> og <math>16=2^4</math> er hele potenser af 2. Af den grund ser man ofte sådanne talsystemer brugt i forbindelse med [[maskinkode]]-programmering.

 

I talsystemer med grundtal mindre end ti bruger man almindeligvis et "udvalg" af de sædvanlige ti cifre fra det vante titalssystem; for eksempel skrives binære tal med cifrene 0 og 1, og det oktale talsystem med cifrene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 og 7. Når der, som i eksempelvis det hexadecimale talsystem, er ''flere'' end ti cifre, bruger man [[alfabet]]ets [[bogstaver]] som cifre: Det hexadecimale talsystems i alt 16 cifre bliver således: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, '''A''', '''B''', '''C''', '''D''', '''E''' og '''F'''.

 

I situationer hvor der opereres med tal skrevet i flere positionstalsystemer med forskellige grundtal, bruger man gerne at notere grundtallet i subscript lige efter den egentlige talangivelse, for eksempel 1234₁₀ som betyder "1234, læst efter titalssystemet".

 

[[Kategori:Tal]]

 

[[cs:Poziční číselná soustava]]

[[el:Θεσιακό σύστημα]]

[[en:Positional notation]]