Aksiom: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
Danefæ (diskussion | bidrag) |
Danefæ (diskussion | bidrag) Omskrevet lidt og tilføjet en del om aksiomer i forbindelse med en logisk teori |
||
Linje 1:
Et '''aksiom''' er en '''grundantagelse''', der antages at være sand, og som ligger til grund for et større system af sætninger.
== Aksiomer i et logisk system ==
Eksempelvis antages det i [[Euklidisk geometri]], at en ret [[linje]] kan forlænges vilkårligt langt med en ret linje. [[Matematik]]ken bygger således på et sæt af aksiomer, oprindeligt opstillet af [[Euklid]] omkring 300 f.Kr. og siden raffineret og opstillet i forskellige versioner fx af [[David Hilbert]] ca. [[1900]].▼
Aksiomssættet for eksempelvis en matematisk teori kan ses som de grundlæggende spilleregler, som man frit fastlægger. Aksiomerne afgør herved, hvad der er muligt inden for teorien, og afgrænser ligeså, hvad man skal forstå ved de basale begreber, som teorien udsiger noget om. Ligesom man er nødt til at lade nogle udsagn være antaget uden belvis (nemlig netop aksiomerne), er man også nødt til at have nogle grundlæggende udefinerede begreber. Et forsøg på at definere alle begreber ville nemlig blot føre til en [[uendelig regres]], hvor man definerer begreber ved andre ikke fastlagte begreber.
Efter at aksiomerne har fastlagt spillereglerne (og de grundlæggende begreber) kan man så arbejde udlede så meget, man nu kan, ud fra disse. Hvis der er få aksiomer til at udlede nok interessante sætninger, kan man være nødt til at indføre flere i sin teori. Men viser det sig omvendt, at man faktisk kunne udlede et aksiom ud fra de andre, så kan man jo selvfølgelig smide dette bort som aksiom og have det som teori i stedet.
Ideen er at have så få aksiomer som muligt til at bevise så meget som muligt; dette kan man dels begrunde æstetisk med, at det enkleste er bedst ([[Ockhams ragekniv]]), dels er det også faktisk ret vitalt at have så få aksiomer som muligt, så at man ikke risikerer at indføre unødige modstrider i sit system, jf. [[Gödels ufuldstændighedsteorem]].
== Eksempler på aksiomssæt ==
▲
[[Aristoteles]] opstillede i sin bog ''[[Metafysikken]]'' to aksiomer for sin [[filosofi]]:
Line 8 ⟶ 18:
* Sætningen om den udelukkede tredje mulighed.
Andre aksiomssæt inden for matematik er eksempelvis [[Peanos aksiomer]], der fastlægger de [[naturlige tal]], og de for matematikken helt fundamentale [[Zermelo-Fraenkels aksiomer]] for [[mængdelæren]].
==Se også==
Line 22 ⟶ 29:
[[Kategori:Erkendelsesteori]]
[[Kategori:Logik]]
[[Kategori:Matematik]]
[[an:Acsioma]]
| |||