Indre (matematik): Forskelle mellem versioner

Begrebet "det indre af en mængde" er et [[topologi]]sk koncept; det er ikke defineret for alle mængder, men det er defineret for mængder, der er [[delmængde]]r af et [[topologisk rum]]. Det er på mange måder [[dualitet (matematik)|dualt]] til begrebet "[[afslutning (topologi)|afslutning]]"; specielt er de to begreber [[dual (kategoriteori)|dualduale]]e i [[kategoriteori]]sk forstand.

Hvis ''S'' er en delmængde af euklidisk rum, er ''x'' et indre punkt i ''S'', hvis der findes en [[kugle (matematik)|kugle]] centreret i ''x'', som er helt indeholdt i ''S'' –– størrelsen af kuglen, som afhænger af ''x'', er vilkårlig og kuglen vil typisk kunne være meget lille, hvis ''x'' ligger nær randen af ''S''. Se den første række eksempler i det følgende afsnit.

*Hvis ''X'' er det euklidiske rum '''R''' af [[reelle tal]], er det indre af det [[interval|lukkede enhedsinterval]] det åbne enhedsinterval; int([0,1]) = (0,1). Dette følger af den ovenfor givne definition: Hvis ''x'' er et punkt i (0,1), vil kuglen (intervallet) med radius min(''x'',1 −− ''x'') om ''x'' være helt indeholdt i [0,1], hvilket betyder, at ''x'' er et indre punkt. Hvis omvendt ''x'' er lig 0 eller 1, vil en hvilken som helst kugle om ''x'' indeholde punkter, der ligger uden for intervallet. De indre punkter i [0,1] er altså præcis elementerne i (0,1).

*Hvis ''X'' er '''R'''² og <math>S = \{x\in \mathbb{R}^2 : \lVert x \rVert \geq 1\}</math>, er <math>\mbox{int}(S) = \{x\in \mathbb{R}^2 : \lVert x \rVert > 1\}</math>; her betegner || &sdot;⋅ || [[norm (matematik)|normen]] i '''R'''². Se illustrationen til højre. Givet et punkt ''x'' med || ''x'' || > 1, vil kuglen med radius || ''x'' || &minus;− 1 og centrum ''x'' være helt indeholdt i ''S''. Hvis omvendt ''y'' er et punkt med || ''y'' || = 1, vil en hvilken som helst kugle med centrum ''y'' indeholde punkter med norm skarpt mindre end 1 og altså indeholde punkter, som ikke ligger i ''S''.