|
En '''normalvektor''' er deten resultat[[vektor]] mander får ud af eter [[krydsproduktnormal (matematik)|normal]]. Tili sammenligningforhold viltil normalvektorenen svareanden tilvektor. denI [[skalarplan (matematik)|planet]] manog fårdet ud aftre-dimensionale [[skalarproduktrumgeometri|rum]]et. Det vil kort sagtdette sige at[[vinkelret]] enpå normalvektorden er enanden vektor, dermen stårbegrebet [[vinkelret]]kan pålet degeneraliseres totil vektorerflere mandimensioner harend krydsettre.
Logisk nok vil normalvektoren '''kun''' eksistere i [[rumgeometri|rummet]], netop på grund af at den opstår som følge af et krydsprodukt.
For to vektorer <math>\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)</math> og <math>\vec{b}=(b_1, b_2, b_3)</math> kan man beregne en fælles normalvektor ved hjælp af deres [[krydsprodukt]]:
<math> \vec{n} = \begin{pmatrix} (a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2) \\ (a_1 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_1) \\ (a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1) \end{pmatrix} </math> såfremt at de to vektorer der krydses er givet ved: <math> \vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} </math> og <math>\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}</math>
:<math> \ vec{ n} P \mid= \vec{ na} \ cdottimes \vec{ P_0Pb} = 0\ begin{pmatrix} </math>▼
== Normalvektorens funktioner ==
a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2 \\
a_1 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_1 \\
a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1
\end{pmatrix} </math>
FørstDenne ognormalvektoren fremmest længden af normalvektoren,har elleren længdenlængde afder krydsprodukteter lig arealet af det parallelogram som de to vektorer udspænder. Se en nærmere forklaring på siden om [[krydsprodukt]]. ▼=== Krydsproduktets længde ===
Normalvektoren har diverse funktioner som man kan benytte sig af indenfor [[rumgeometrien]].
▲Først og fremmest længden af normalvektoren, eller længden af krydsproduktet lig arealet af det parallelogram som de to vektorer udspænder. Se en nærmere forklaring på siden om [[krydsprodukt]].
=== Planens ligning ===
En normalvektor kan benyttes i forbindelse med bestemmelse af en ligning for et [[plan (matematik)|plan]] i tre [[dimension]]er. Et planen kan beskrives som en [[mængde]] af uendeligt mange punkter bredt ud på en uendelig stor flade, og man kan således beskrive planen som alle de punkter <math>P</math> hvor [[skalarprodukt]]et mellem normalvektoren og vektor fra et andet punkt i planen <math>P_0</math> til dette punkt <math>P</math> til er nul. Dette kommer af at at normalvektoren står vinkelret på planen, samt at skalarproduktet mellem to vinkelrette vektorer (en vinkel på 90 grader) giver nul, da <math>\cos(90) = 0</math>. Dette er altså en helt generel beskrivelse af samtlige punkter i en uendeligt stor flade, da der ikke er lagt nogle yderligere bånd på denne definition. Matematisk kan dette udtrykkes ved:
En normalvektor benyttes desuden i forbindelse med bestemmelse af [[plan (matematik)|planens ligning]].
Da planen er en beskrivelse af uendeligt mange punkter som er bredt ud på en uendelig stor flade kan man blandt andet beskrive planen som alle de punkter hvor [[skalarprodukt]]et mellem normalvektoren og en vilkårlig vektor i planen, giver nul.
For dem der ikke lige ser logikken i denne matematiske beskrivelse af planet skal det først og fremmest holdes i mente at normalvektoren står vinkelret på planen, samt at prikproduktet mellem to vinkelrette vektorer (en vinkel på 90 grader) giver nul, da <math>cos(90) = 0</math>. Dette er altså en helt generel beskrivelse af samtlige punkter i en uendeligt stor flade, da der ikke er lagt nogle yderligere bånd på denne definition.
▲<math>\{ P \mid \vec{n} \cdot \vec{P_0P} = 0\}</math>
:<math>\{ P \mid \vec{n} \cdot \overrightarrow{P_0 P} = 0\}</math>
Vi beskriver den vilkårlige vektor på følgende måde: <math>\vec{P_0P} = \begin{pmatrix} x - x_0 \\ y - y_0 \\ z - z_0 \end{pmatrix}</math> og normalvektoren således: <math>\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math>
Hvis vi definerer <math>P = (x,y,z)</math> og <math>P_0=(x_0,y_0,z_0)</math>, og og normalvektoren som <math>\vec{n} = (a,b,c)</math>, bliver <math>\overrightarrow{P_0P} = (x-x_0,y-y_0,z-z_0)</math>, og ud fra definitionen af skalarproduktet samt førnævnte definition på planen bliver planens ligning:
Og fastslår hurtigt ud fra definitionen om [[skalarprodukt]]et samt førnævnte definition på planen, at planens ligning altså kan defineres på følgende måde (planer beskrives normalt ved små græske bogstaver):
<math> \alpha : \vec{n} \cdot \vec{P_0P} = a \cdot (x - x_0) + b \cdot (y - y_0) + c \cdot (z - z_0) = ax + by + cz +d = 0 </math>
Hvor :<math>d \vec{n} \cdot \vec{P_0P} = a \cdot x_0(x - x_0) + b \cdot y_0(y - y_0) + c \cdot (z - z_0) = ax + by + cz +d = 0 </math>,
hvor <math>d = - a \cdot x_0 - b \cdot y_0 - c \cdot z_0</math>. Man gør altså brug af normalvektorens koordinater når man beskriver planens med en ligning.
[[cs:Normála]]
| 