|
seriøst, bare gæt dig frem til det?:D.
En '''kædebrøk''' er et [[matematik|matematisk]] udtryk af formen
:<math>x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3+\,\cdots}}} </math>
Hvor a<sub>0</sub> er et [[heltal]] og de andre a<sub>n</sub>-værdier er ''positive'' heltal. For ikke at bruge for meget plads, kan kædebrøker også skrives
:<math>x = [a_0; a_1, a_2, a_3, \ldots].\;</math>
Ethvert [[reelle tal|reelt tal]] kan skrives med en og kun en kædebrøk, og denne kædebrøk er endelig hvis og kun hvis tallet er [[rationelle tal|rationelt]].
Eksempler på kædebrøker for nogle matematiske konstanter:
* [[Det gyldne snit]], φ=[1;1,1,1,1...]
* Kvadratroden af 2, √2 = [1; 2, 2, 2, 2, ...]
* [[Eulers tal]], ''e'' = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, ...]
* [[Pi]], π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, ...]
Både ''e'' og π er [[transcendente tal]], men det er kun i ''e'''s kædebrøk, at der er et mønster.
Kædebrøker kan bruges til at finde gode tilnærmede værdier for [[irrationelle tal]]. Hvis vi f.eks. vil finde en brøk, som er tæt på π, tager vi bare nogle af de første led fra kædebrøken. Hvis vi kun tager et led, får vi [3]=3. Hvis vi tager et led mere med, giver det [3;7]=3+1/7=22/7, som nok er den mest kendte brøktilnærmelse til π. Tager man et led til giver det:
:<math>[3;7,15] = 3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{15}} = 3 + \cfrac{1}{\cfrac{106}{15}}=3 + \cfrac{15}{106} = \cfrac{333}{106} = 3.14151...</math>
Til sammenligning er π=3.14159... Brøker, der er lavet på denne måde, giver altid de bedst mulige approksimationer til et givet tal.
a<sub>n</sub>-værdiernes [[Geometrisk gennemsnit|geometriske gennemsnit]] er det samme for [[næsten sikkert|næsten alle]] tal. Dette tal kaldes [[Khinchins konstant]] og har værdien ''K'' ≈ 2,6854520010.
[[Kategori:Matematisk_analyse]]
{{Link GA|fr}}
[[ar:كسر مستمر]]
[[bg:Верижна дроб]]
[[ca:Fracció contínua]]
[[de:Kettenbruch]]
[[en:Continued fraction]]
[[es:Fracción continua]]
[[et:Ahelmurd]]
[[fi:Ketjumurtoluku]]
[[fr:Fraction continue]]
[[hi:सतत भिन्न]]
[[it:Frazione continua]]
[[ja:連分数]]
[[ko:연분수]]
[[nl:Kettingbreuk]]
[[pl:Ułamek łańcuchowy]]
[[pms:Frassion continuà]]
[[pt:Fração contínua]]
[[ru:Непрерывная дробь]]
[[sl:Verižni ulomek]]
[[sv:Kedjebråk]]
[[ta:தொடரும் பின்னம்]]
[[th:เศษส่วนต่อเนื่อง]]
[[uk:Ланцюгові дроби]]
[[vi:Phân số liên tục]]
[[zh:连分数]]
| 