Topologi: Forskelle mellem versioner

 

'''Topologi''' ([[Græsk (sprog)|græsk]] ''topos'', 'sted', og ''logos'', 'lære') er en del af matematikken, der udvider [[geometri]]. Topologi begynder med en betragtning af rummets natur, og rummets finstruktur såvel som dets globale struktur analyseres. Topologi bygger på [[mængdelære]] og der arbejdes typisk med både [[mængde]]r af punkter og familier af mængder.

 

== Historie ==

 

Området, der nu kaldes topologi, stammer oprindeligt fra undersøgelsen af bestemte spørgsmål i geometri. [[Leonhard Euler]]s afhandling om ''[[Königsbergs syv broer]]'' fra [[1736]] betragtes som et af de første topologiske resultater.

 

== Grundlæggende introduktion ==

 

Topologiske rum optræder naturligt i stort set alle dele af matematikken, hvorfor topologi er blevet en af de store forenende idéer i matematikken. ''Generel topologi'', eller ''[[punktmængdetopologi]]'', definerer og behandler egenskaber ved rum og afbildninger, såsom [[sammenhængende rum|sammenhængenhed]], [[kompakt rum|kompakthed]] og [[kontinuitet]]. ''[[Algebraisk topologi]]'' benytter sig af strukturer fra [[abstrakt algebra]], specielt [[gruppe (matematik)|gruppen]], til at studere topologiske rum og afbildninger mellem dem.

Som nævnt var Eulers afhandling om umuligheden af at finde en rute gennem Königsberg (nu [[Kaliningrad]]), der krydser alle broer netop én gang, blandt topologiens første. Eulers resultat afhang ikke af broernes længde, ej heller af afstanden mellem dem, men udelukkende om sammenhængsegenskaber: Hvilke broer, der er forbundet til hvilke øer og bredder. Problemet, ''[[Königsbergs syv broer]]'', er nu et berømt problem i grundlæggende matematik og på det matematiske område, der er kendt som [[grafteori]].

 

Det samme gælder ''[[sætningen om den behårede kugle]]'' i algebraisk topologi, der siger, at "man ikke kan rede håret på en kugle glat" (se illustrationen til højre). Dette resultat virker umiddelbart oplagt for mange mennesker, selvom de ikke genkender sætningens formelle udsagn: At der ikke findes et [[kontinuitet|kontinuert]] [[vektorfelt|tangentvektorfelt]] på [[kugle]]n, der aldrig er 0. Som med Königsbergs broer afhænger resultatet ikke af kuglens præcise form; det gælder også om pæreformede objekter og faktisk om enhver formløs klat (med nogle betingelser på glatheden af overfladen); så længe objektet ikke har huller.

 

[[tr:Topoloji]]

[[uk:Топологія]]

[[vi:Tô pô]]

[[xal:Тополоҗик]]