Polynomium: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
Mgarde (diskussion | bidrag) →Se også: Interne links |
|||
Linje 9:
Tallene <math>k_n</math>, <math>k_{n-1}</math>, <math>k_{n-2}</math> osv., til og med <math>k_1</math> kaldes for ''koefficienter'', mens <math>k_0</math> omtales som ''konstantleddet''. Så længe [[koefficient]]en til ''højestegrads-leddet'' (dvs. det led hvori <math>x</math> er opløftet til den højeste potens, i dette tilfælde <math>k_n</math>) er forskellig fra 0, kalder man polynomiet for et ''n'te-grads polynomium'' – de andre koefficienter og konstantleddet kan være alle mulige [[Reelt tal|reelle tal]].
polynomium, (lat., af poly- og afledn. af lat. nomen i bet. 'led, term'; undertiden sat i forbindelse med gr. nome 'fordeling'), i matematik et udtryk, der er en sum af flere led, oftest led af formen axi. Symbolet x kaldes den variable, tallet a kaldes leddets koefficient, og eksponenten i kaldes leddets grad. Idet leddene ordnes efter grad, får det almindelige polynomium formen
f (x) = anxn+an-1xn-1+ ∙∙∙ +a1x+a0.
Nulpolynomiet er det polynomium, hvis koefficienter alle er nul. For alle andre polynomier defineres graden som den største grad af leddene aixi med ai ≠ 0.
Et polynomium f (x) bestemmer en funktion, idet værdien f (t) svarende til et tal t fremkommer ved at erstatte den variable x med t. Hvis f (t) = 0, siges t at være en rod eller et nulpunkt. Fx har polynomiet f (x) = x3−2x2−x+2 grad 3 og rødderne t = −1,1,2. I almindelighed er antallet af rødder højst lig med polynomiets grad. Alle reelle polynomier af ulige grad har en reel rod; algebraens fundamentalsætning udsiger, at ethvert polynomium af positiv grad har en rod blandt de komplekse tal.
Et polynomium f (x) har tallet t som rod, hvis og kun hvis der findes en fremstilling af f (x) som et produkt, f (x) = (x−t)g(x), hvor den ene faktor er førstegradspolynomiet x−t. Når f (x) har grad n ≥ 1, følger det af algebraens fundamentalsætning, at der findes en fremstilling f (x) = a(x−t1) ∙∙∙ (x−tn), hvor t1, ... ,tn er de komplekse rødder i f (x). Hvis en faktor x−ti her forekommer mindst to gange, siges ti at være multipel rod i f (x).
PolynomiumsringeAddition og multiplikation af to polynomier fører igen til polynomier, og samtlige polynomier (i én variabel) med reelle koefficienter udgør en ring, oftest betegnet R[x]. Tilsvarende udgør de komplekse polynomier en ring, betegnet C[x].
Flere variableI et polynomium kan indgå mere end én variabel. Et polynomium i tre variable x,y,z er således et udtryk, der er en sum af led af formen axiyjzk. Summen i+j+k kaldes leddets grad. Fx er x2+y2+z2−1 et polynomium af grad 2; dets nulpunkter udgør en kugleflade.
== Polynomiets rødder ==
| |||