Versionen fra 5. okt. 2005, 09:41 redigér 195.249.143.20 (diskussion) No edit summary ← Gå til forrige forskel		Versionen fra 5. okt. 2005, 18:42 redigér fjern redigering 80.196.144.95 (diskussion) No edit summary Gå til næste forskel →
Linje 2: Et '''legeme''' er i [[abstrakt algebra]] en [[kommutativ ring]], der opfylder 6 bestemte [[aksiom]]er. Ud fra disse 6 aksiomer kan man udlede alle de normale regneregler, såsom at nan dividerer med en brøk ved at gange med den omvendte eller (x + y)<sup>2</sup> = x<sup>2</sup> + 2xy + y<sup>2</sup> ~~Man dividerer med en brøk ved at gange med den omvendte~~ ~~eller formlen for kvadratet på en toleddet størrelse.~~ I et legeme er der kun fastsat 2 regneoperatorer, plus og gange. Alle de andre kan uddrives af disse. ==Aksiomerne== ~~'''Advarsel: Denne sektion er ikke færdiggjort. Jeg, (Mikoangelo) vil fortsætte den hurtigst muligt.'''~~ Vi antager at vi har et legeme ''M''.<br /> ''M'' skal så opfylde følgende aksiomer: Line 32 ⟶ 28: ∀x,y ∈ ''M'': x × y = y × x ===Aksiom 3: Associativitet=== ''Addition og multiplikation er associative operatorer.'' Dette vil sige, at mnman kan definere en hvilken som helst sammenhæng mellem 3 eller flere tal bundet sammen af ''enten'' plus ''eller'' gange, uden at dette vil ændre resultatet. ∀x,y,z ∈ ''M'': (x + y) + z = x + (y + z) ∀x,y,z ∈ ''M'': (x × y) × z = x × (y × z) ===Aksiom 4: Distibutivitet=== ''Multiplikation er distributiv i forhold til addition.'' Dette vil sige, at man kan "gange ind i paranteser" og vice versa. ∀x,y,z ∈ ''M'': x × (y + z) = (x × y) + (x × z) ===Aksiom 5: Nulelement og ételement=== ''M indeholder et nulelement '''n''', som er neutralt overfor addition, og et ételement '''e''', som er neutralt overfor multiplikation. Disse skal være forskellige.'' Dette vil sige, at 0 og 1 skal eksistere i ''M''. Dog siger vi ikke, at der kun må være et af hvert. Dette er impliceret i aksiomet. Dette vil vi bevise senere. ∀x ∈ ''M'': x + n = x ∀x ∈ ''M'': x × e = x e ≠ n ===Aksiom 6: Modsatte og reciprokke tal=== ''Ethvert element i M har et modsat element i M, og ethvert element i M, som ikke er et nulelement, har et reciprokt element i M.'' ∀x ∈ ''M'' ∃y ∈ ''M'': x + y = n ∀x ∈ ''M'' \ {0} ∃y ∈ ''M'': x × y = e ===Uddrivninger=== Man kan blandt andet, som tidligere nævnt, uddrive at der kun kan eksistere ét nulelement og ét ételement. Lad n<sub>1</sub> være det ene nulelemeent, og n<sub>2</sub> være det andet. Vi kan så se, at disse to må være ens: n<sub>1</sub> =<br /> n<sub>1</sub> + n<sub>2</sub> =<br /> n<sub>2</sub> + n<sub>1</sub> =<br /> n<sub>2</sub> Dette gøres ved at bruge reglen om, at n er neutral overfor addition. 3 linie gør brug af reglen om kommutativitet. Noget lignende kan gøres med ételementet. Endvidere kan bla. bevise at (x + y)<sup>2</sup> = x<sup>2</sup> + 2xy + y<sup>2</sup> ved at sige (x + y)<sup>2</sup> =<br /> (x + y) × (x + y) =<br /> (x × (x + y)) + (y × (x + y)) =<br /> (x × x) + (x × y) + (y × x) + (y × y) =<br /> xx + xy + yx + yy =<br /> x<sup>2</sup> + xy + xy + y<sup>2</sup> =<br /> x<sup>2</sup> + 2xy + y<sup>2</sup>

Legeme (algebra): Forskelle mellem versioner