Forskel mellem versioner af "Eksponentiel udvikling"

782 bytes tilføjet ,  for 7 år siden
m
Gendannelse til seneste version ved 192.38.90.28, fjerner ændringer fra 87.57.58.80 (diskussion | bidrag)
m (Gendannelse til seneste version ved 192.38.90.28, fjerner ændringer fra 87.57.58.80 (diskussion | bidrag))
Matematisk set beskrives den eksponentielle udvikling således:
:<math> y = b \cdot a^x </math>
hvor <math> a > 0 </ariabel]].math>, <math> b > 0 </math> og <math> a \neq 1 </math>
* ''x'' er den [[uafhængige variabel]] (som regel målt i tid).
* ''a'' er det [[forholdstal]] som ''y'' ændrer sig med, når ''x'' stiger eller falder med 1: Hvis ''a'' 0 < a < 1 er ''y'' eksponentielt [[Funktion_(matematik)#Monotonagende]], hvis '
* ''y'' er den [[afhængige variabel]].
* ''a'' er det [[forholdstal]] som ''y'' ændrer sig med, når ''x'' stiger eller falder med 1: Hvis ''a'' 0 < a < 1 er ''y'' eksponentielt [[Funktion_(matematik)#MonotonagendeMonotoni|aftagende]], hvis ''a'' > 1 er den eksponentielt [[Funktion_(matematik)#Monotoni|voksende]].
* ''b'' er den størrelse ''y'' har når ''x'' er lig med nul. Bemærk desuden at der i tilfældet <math>b = 1</math> er tale om den mere simple [[eksponentialfunktion]].
 
En eksponentiel udvikling kan beskrives ved de to tal ''a'' og ''b'': Givet disse tal kan man med ovenstående regneudtryk svare på spørgsmål om, hvor stor den undersøgte størrelse ''y'' var eller vil være til et givent tidspunkt ''x''. Med lidt omregning kan man tilsvarende bestemme, hvornår ''y'' når eller nåedivetnåede indirekteen ibestemt form af et (for voksende eksponentielle udviklinger) fordoblings- eller (for aftagende udviklinger) halveringstal (eller -konstant): Dette er et udtryk for, hvor stor ændring i den uafhængige variabel ''x'' der "skal til" for at få fordoblet hhvværdi. halveret den afhængige <br>
Givet to sammenhørende par af ''x'' og ''y'' (f.eks. oplysninger om et eksponentielt voksende indbyggertal to givne, forskellige år) kan man bestemme værdierne af ''a'' og ''b'' og derefter bruge formlen til at fremsætte prognoser som beskrevet ovenfor.
ldes for T2, gælder:<br>
 
Størrelsen af ''a'' er somme tider givet indirekte i form af et (for voksende eksponentielle udviklinger) fordoblings- eller (for aftagende udviklinger) halveringstal (eller -konstant): Dette er et udtryk for, hvor stor ændring i den uafhængige variabel ''x'' der "skal til" for at få fordoblet hhv. halveret den afhængige variabel ''y''.
Hvis fordoblingstallet eller fordoblingstiden kaldes for T2, gælder:<br>
<math>a = 2^{\frac{1}{T_2}} \Leftrightarrow T_2=\frac{\ln 2}{\ln a}</math><br>
Udtrykt ved halveringstallet eller halveringstiden t gælder:<br>