Indre produkt: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
Pred (diskussion | bidrag) +iw |
Esmil (diskussion | bidrag) Tilføjet det komplekse tilfælde |
||
Linje 1:
Et '''indre produkt''' er i [[matematik]]ken en funktion ''f'': ''V''×''V'' → '''R''' hhv. ''f'': ''V''×''V'' → '''C''', hvor ''V'' er et reelt hhv. komplekst [[vektorrum]], der opfylder
Lad os først se på det reelle tilfælde, så lad i det følgende '''u''', '''v''', '''w''' være vilkårlige [[vektor]]er i et reelt vektorrum ''V'', og ''r'', ''s'' være vilkårlige [[reelle tal]]. Nu skal et indre produkt opfylde:
# ''[[Bilineær]]'': ⟨''r'''''u''' + ''s'''''v''', '''w'''⟩ = ''r''⟨'''u''','''w'''⟩ + ''s''⟨'''v''', '''w'''⟩ og ⟨'''u''', ''r'''''v''' + ''s'''''w'''⟩ = ''r''⟨'''u''','''v'''⟩ + ''s''⟨'''u''', '''w'''⟩.
# ''Symmetrisk'': ⟨'''u''', '''v'''⟩ = ⟨'''v''', '''u'''⟩.
# ''Tro'': ⟨'''v''', '''v'''⟩ ≥ 0 og ⟨'''v''', '''v'''⟩ = 0 ⇔ '''v''' = 0.
Altså er et indre produkt på et reelt vektorrum en positiv definit ikke-degenereret symmetrisk [[bilinearform]]
: '''u''' • '''v''' = ∑ ''u''<sub>''i''</sub>''v''<sub>''i''</sub>,
hvor '''u''' = (''u''<sub>1</sub>, ''u''<sub>2</sub>, ..., ''u''<sub>''n''</sub>) og '''v''' = (''v''<sub>1</sub>, ''v''<sub>2</sub>, ..., ''v''<sub>''n''</sub>).
I det komplekse tilfælde er reglerne lidt anderledes. Lad nu '''u''', '''v''', '''w''' være vilkårlige [[vektor]]er i et komplekst vektorrum ''V'', og ''z'', ''w'' være vilkårlige [[komplekse tal]]. Nu skal et indre produkt opfylde:
▲Et eksempel på et indre produkt, er [[prikprodukt]]et.
# <math>\langle z\mathbf{u} + w\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle = z\langle\mathbf{u}, \mathbf{w}\rangle + w\langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle</math> og <math>\langle\mathbf{u}, z\mathbf{v} + w\mathbf{w}\rangle = \overline{z}\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle + \overline{w}\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle</math>.
# <math>\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = \overline{\langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle}</math>.
# <math>\langle\mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle\in [0,\infty)</math> og <math>\langle\mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle = 0 \Leftrightarrow \mathbf{v} = 0</math>.
Anden del af 1. er ofte udeladt af definitionen, da det følger af 2.
Et vektorrum med et indre produkt, kaldes et [[euklidisk vektorrum]].
| |||