Wikipedia

Norm (matematik): Forskelle mellem versioner

Gennemse historikken interaktivt
← Gå til forrige forskelGå til næste forskel →
Content deleted Content added
VisueltWikitekst
m Flere lande tilføjet
Esmil (diskussion | bidrag)
111 edits
Indført en lidt mere stringent definition af en norm. Håber ikke det forvirrer for meget
Linje 1:
{{harflertydig2|Norm}}
 
Begrebet '''norm''' er i [[matematik]]ken en generalisering af det almindelige begreb [[længde]]. En norm er generelt et mål for størrelsen/længden af et matematisk objekt, være sig det eren [[vektor]]er, [[matrixi (matematik)|matricer]],et reelt eller komplekst [[komplekse talvektorrum]] eller andet. Fælles for alle normer er at de karakteriserer det matematiske objekt med en enkelt positiv [[skalar]] (et [[tal]]), der kan anvendes til sammenligning med normen af andre objektervektorer af samme type. Med andre ord er en norm en funktion fra et reelt eller komplekst vektorrum <math>V</math> over i de positive (inklusiv 0) [[reelle tal]] <math>\mathbb{R}_+</math>. Altså <math>f\colon V\to\mathbb{R}_+</math>. Dog skrives normen typisk <math>\Vert\vec{v}\Vert = f(\vec{v})</math>.
 
For en tredimensional vektor <math>\vec{v} =(v_1,v_2,v_3)\in\mathbb{R}^3</math> svarer den mest almindelige norm
<math>\left\Vert \vec{v} \right\Vert</math> (evt. <math>\left\Vert \vec{v} \right\Vert_2</math>) til længden i almindelig forstand. (detteDette kaldes også den '''euklidiske norm'''):
: <math> \left\Vert \vec{v} \right\Vert = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} </math>▼
 
For en [[skalar]] (altså i det endimensionelle tilfælde) er normen det samme som absolut-værdien. Fx.
▲: <math> \left\Vert \vec{v} \right\Vert = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} </math>
: <math> \left\Vert \vec{v}-3 \right\Vert_1Vert = v_1|-3| + v_2 += v_33</math>.▼
 
Generaliseringen af denne norm til <math>\mathbb{R}^k</math> er
For en skalar (altså i det endimensionelle tilfælde) er normen det samme som absolut-værdien, dvs <math>|-3|=3</math>. I højere dimension bruger man dog notationen <math>\left\Vert \vec{v} \right\Vert</math>. Generaliseringen af denne norm er
: <math> \left\Vert \vec{v}\Vert = \rightVert\vec{v}\Vert_nVert_2 = \sqrt[n]{v_1\sum_{i=1}^n + v_2^n +k v_3v_i^n2}</math>,▼
 
og mere generelt
▲: <math> \left\Vert \vec{v} \right\Vert_n = \sqrt[n]{v_1^n + v_2^n + v_3^n}</math>
: <math>\Vert\vec{v}\Vert_n = \sqrt[n]{\sum_{i=1}^k v_i^n}</math>.
 
To specialtilfælde af denne er værd at bemærke: For <math>n=1</math> får man
: <math> \left\Vert \vec{v} \right\Vert_\inftyVert_1 = |\mathrmsum_{maxi=1}(v_1,v_2,v_3)^k v_i|</math>▼
&mdash; dvs. 1-normen er den absolutte værdi af summen af vektorkoordinaterne. Det andet specialtilfælde er grænseværdien for <math>n \rightarrow \infty</math>;. herHer dominerer den største af vektorkomponenterne, dvs. ▼
: <math>\Vert\vec{v}\Vert_\infty = \max\{v_i\,|\,1\leq i\leq k\}</math>
 
De ovenfor beskrevne normer er langtfra de eneste; forskellige normer passer til forskellige problemer. Dog skal alle normfunktioner <math>\Vert\cdot\Vert\colon V\to\mathbb{R}_+</math> på et reelt hhv. komplekst vektorrum <math>V</math> opfylde:▼
▲: <math> \left\Vert \vec{v} \right\Vert_1 = v_1 + v_2 + v_3</math>
# <math>\Vert a\vec{v}\Vert = |a|\Vert\vec{v}\Vert</math> for alle <math>\vec{v}\in V</math> og <math>a\in\mathbb{R}</math> hhv. <math>a\in\mathbb{C}</math>.
 
# <math>\Vert\vec{v}\Vert = 0 \Leftrightarrow \vec{v} = 0</math> for alle <math>\vec{v}\in V</math>.
▲&mdash; dvs. normen er summen af vektorkoordinaterne. Det andet specialtilfælde er grænseværdien for <math>n \rightarrow \infty</math>; her dominerer den største af vektorkomponenterne, dvs.
# <math>\Vert\vec{v} + \vec{w}\Vert \leq \Vert\vec{v}\Vert + \Vert\vec{u}\Vert</math> for alle <math>\vec{v},\vec{w}\in V</math>.
 
Den sidste betingelse går også under navnet [[trekantsuligheden]].
▲: <math> \left\Vert \vec{v} \right\Vert_\infty = \mathrm{max}(v_1,v_2,v_3)</math>
 
Et vektorrum med en norm kaldes et [[normeret vektorrum]].
▲De ovenfor beskrevne normer er langtfra de eneste; forskellige normer passer til forskellige problemer.
 
== Se også ==
Hentet fra "https://da.wikipedia.org/wiki/Norm_(matematik)"