Norm (matematik): Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
Esmil (diskussion | bidrag) Forsøgt at strukturere artiklen lidt. Håber det virker... |
Esmil (diskussion | bidrag) m 2 små ændringer. Tak Barklund |
||
Linje 6:
En '''norm''' er en funktion ''f'':''V'' → '''R'''<sub>+</sub> fra et reelt eller komplekst vektorrum ''V'' over i de positive (inklusiv 0) [[reelle tal]], der opfylder følgende tre egenskaber. Dog bruger man oftest notationen ||'''v'''|| for funktionsværdien ''f''('''v''') (eller man skriver blot, at en norm er en funktion || ⋅ ||:''V'' → '''R'''<sub>+</sub>). En norm på et reelt hhv. komplekst vektorrum ''V'' skal under alle omstænder opfylde disse tre betingelser:
# ||''a'''''v'''|| = |''a''| ||'''v'''|| for alle vektorer '''v''' ∈ ''V'' og ''a'' ∈ '''R''' hhv. ''a'' ∈ '''C'''.
# ||'''v'''|| = 0 ⇔ '''v''' = '''0''' for alle '''v''' ∈ ''V''.
# ||'''v''' + '''w'''|| ≤ ||'''v'''|| + ||'''w'''|| for alle '''v''', '''w''' ∈ ''V''.
Sidste betingelse går også under navnet [[trekantsuligheden]]. Et vektorrum med en norm kaldes et [[normeret vektorrum]].
Linje 23:
Faktisk har man en hel familie af normer på <math>\mathbb{R}^k</math> defineret ved
: <math>\Vert\vec{v}\Vert_n = \sqrt[n]{\sum_{i=1}^k v_i^n}</math>.
Derfor kalder man under tiden den euklidiske norm for 2-normen. To specialtilfælde af denne er værd at bemærke: For <math>n=1</math> får man
: <math>\Vert\vec{v}\Vert_1 = |\sum_{i=1}^k v_i|</math>
— dvs. 1-normen er den absolutte værdi af summen af vektorkoordinaterne. Det andet specialtilfælde er grænseværdien for <math>n \rightarrow \infty</math>. Her dominerer den største af vektorkomponenterne, dvs.
| |||