Det gyldne snit: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
Pkj61 (diskussion | bidrag) →Potenser af φ og Fibonacci-tallene: Pentagram indledt som stub |
Pkj61 (diskussion | bidrag) →Pentagrammet: udvidet med figurer og udledning |
||
Linje 72:
== Pentagrammet ==
[[File:Pentagram with pentagon.png|120px|left]]
[[File:Pentagram with angles.png|350px|thumb|Pentagrammet og den regulære femkant med alle vinkler udregnet.]]
Et af stederne, hvor det gyldne snit optræder, er i en regulær ''femtakket'' stjerne, et [[pentagram]]. En sådan ses på på figuren til venstre omskrevet af en regulær femkant, en pentagon. Til højre er desuden indtegnet den omskrevne cirkel, og alle relevante vinkler er indtegnet. De fem vinkelbuer vil alle være på 360°/5 = 72°. Derfor er den spidse vinkel på en ''tak'' og dens to nabovinkler alle 72°/2 = 36°. Den spidsvinklede trekant i ''takken'' er ligebenet, så de to andre vinkler i trekanten vil være (180°-36°)/2 = 72°. De stumpe vinkler ved siden af disse vinkler vil være 180°-72° = 108°.
[[File:Pentagram with golden section.png|thumb|350px|left|Pentagrammet med udledningen af det gyldne snit.]]
=== Det gyldne snit i pentagrammet ===
På figuren til venstre har vi nu indført sidelængden ''a'' som længden på en tak og ''b'' som sidelængden på femkanten i midten af pentagrammet. Det viser sig at forholdet ''a/b'' netop er det gyldne snit.
Udregninger af vinklerne medfører, at de to trekanter i figuren til venstre, Δ''QPR'' og Δ''QTS'', er ensvinklede. Hvis vi derfor tager forholdene mellem ensliggende sider i hhv. den store (svagt lyserøde) og den lille (stærkt lyserøde) trekant, kommer vi frem til følgende:
:<math>\frac{|QT|}{|QP|} = \frac{|TS|}{|PR|}</math>
Med sidelængderne indført, bliver det:
:<math>\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}</math>
Dette er nøjagtig samme ligning, som vi brugte til at definere det gyldne snit med, og derfor deles f.eks. liniestykket ''PS'' i det gyldne snit af punktet ''R''.
De to spidsvinklede trekanter, Δ''QPR'' og Δ''QTS'', men også den stumpvinklede trekant, Δ''RSQ'', siges alle at være ''gyldne trekanter'', fordi forholdet mellem deres sider er tallet ''φ''. For de spidsvinklede trekanter fremkommer det som forholde mellem et ben og grundlinien; for den stumpvinklede trekant er det forholdet mellem grundlinien og et ben.
== Andre sammenhænge ==
| |||