Polynomium: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
Madglad (diskussion | bidrag) Matematisk opstramning |
Madglad (diskussion | bidrag) Yderligere præcision og uddybning. |
||
Linje 13:
For et givent polynomium af ''n''<nowiki>'</nowiki>te grad vil der være ''n'' værdier for ''x'', som giver ''p''(''x'') = 0. (Se dog om dobbelt-rødder senere). Sådanne tal kaldes for polynomiets ''rødder''.
For polynomiumsligninger over de rationale ligger samtlige rødder enten i de rationale tals legeme (i så fald kaldes polynomiet faktoriserbart over de rationale tals legeme) eller i et udvidelseslegeme til de rationale tals legeme. Fx har ligningen <math>x^2 - 2 = 0</math> sine rødder i legemet <math>Q[\sqrt{2}]</math>, hvilket er de rationale tals legeme udvidet med alle de tal, der kan frembringes ved aritmetiske oprationer mellem rationale tal og <math>\sqrt{2}</math>. Dette legeme er et underlegeme til [[Algebraiske tal|de algebraiske tals legeme]].
For polynomiumsligninger over [[Reelle tal|de reelle tals legeme]] kan nogle eller evt. samtlige rødder være reelle tal - resten vil være [[komplekse tal]].
Linje 24:
Dette kaldes polynomiets faktorisering. Hvis ''x'' er lig med én af rødderne, bliver én af parenteserne i ovenstående produkt lig med nul, og hele polynomiet bliver lig nul. Produktet af de øvrige parenteser vil så danne et nyt polynomium, som indeholder alle de andre mulige rødder.<br />
Hvis man kan finde én rod ''x''<sub>1</sub> i et polynomium, kan man derfor "dividere" polynomiets forskrift med ''x'' - ''x''<sub>1</sub> og derved få et nyt polynomium som er en grad mindre end det oprindelige polynomium. Det nye polynomier vil have de samme rødder som det oprindelige polynomium, med undtagelse af den rod der blev "divideret ud". Der er dog ikke tale om en egentlig division (man kan ikke dividere med 0), men om at man fjerner en faktor fra polynomiets faktorisering.
Studiet af om rødderne for givne polynomiumsligninger over et givet legeme (typisk de rationale tal) kan skrives ved [[rodtegn]] kaldes [[Galois-teori]].
== Se også ==
| |||