Krydsprodukt: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
m r2.7.2) (Robot tilføjer mr:फुली गुणाकार |
Utoft (diskussion | bidrag) m Ændret de relevante a til at være \vec{a}. Samme for b. |
||
Linje 1:
Inden for [[matematik]]ken, mere specifikt [[lineær algebra]] og [[vektor (matematik)|vektorregning]], defineres '''krydsproduktet''' (også kaldet '''vektorproduktet''') mellem to tre-dimensionale [[vektor (matematik)|vektorer]] <math>\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)</math> og <math>\vec{b}=(b_1, b_2, b_3)</math> i <math>\mathbb{R}^3</math> som vektoren <math>\vec{a} \times \vec{b}</math>, udregnet således:
:<math>\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{pmatrix}
a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2 \\
Linje 10:
Dette kan udtrykkes mere elegant med følgende [[determinant]], hvor <math>\vec{i}</math>, <math>\vec{j}</math> og <math>\vec{k}</math> er [[enhedsvektor]]er i det tre-dimensionale [[koordinatsystem]]:
:<math>\vec{a} \times \vec{b} = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix} \right|
= (a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2) \vec{i} + (a_3 \cdot b_1 - a_1 \cdot b_3) \vec{j} + (a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1) \vec{k}</math>
Resultatet <math>\vec{a} \times \vec{b}</math> er en [[normalvektor]] til både <math>\vec{a}</math> og <math>\vec{b}</math>, dvs. en vektor, der står vinkelret på begge. Hvis de to vektorer er [[parallel]]le, vil krydsproduktet være en [[nulvektor]]. Retningen af vektoren vil altid være som ''z''-aksens retning i et [[højrehåndskoordinatsystem]], hvor ''x''- og ''y''-aksen er henholdsvis <math>\vec{a}</math> og <math>\vec{b}</math>.
Krydsproduktet for eksempel bruges til at finde [[normalvektor]]en til det [[plan (matematik)|plan]] de to vektorer udspænder. Der vil imidlertid være to vektorer som kan stå vinkelret på planet, hhv. en der peger "op" samt en der peger "ned". Dette er blandt andet grunden til at det ofte ikke er helt ligegyldigt hvilken rækkefølge man tager krydsproduktet i. Alt afhængig af hvilken rækkefølge man tager krydsproduktet i, vil man ende op med den ene eller den anden netop omtalte vektor. Man kan altså matematisk sige følgende <math>\vec{a}\times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}</math>
== Længden af krydsproduktet ==
Linje 22:
Længden af <math>\vec{a} \times \vec{b}</math> er givet ved produktet mellem længden for <math>\vec{a}</math> og <math>\vec{b}</math> samt [[sinus]] til vinklen <math>\theta</math> imellem dem, altså:
:<math>|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin (\theta)</math>
hvor vinklen ligger mellem 0 og 180 [[grad (vinkelmål)|grader]], svarende til 0 til <math>\pi</math> [[radian]]er.
Linje 28:
En anden ting, som gør sig gældende for længden af krydsproduktet, er, at det udgør arealet af det parallelogram, som de to vektorer udspænder. Det gør det måske også mere intuitivt let at forstå, at to parallelle vektorers krydsprodukt er lig nul.
:<math>|\vec{a} \times \vec{b}| = A_{parallelogram} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin (\theta)</math>
Det vil samtidigt logisk nok sige at arealet af trekanten, som følge af [[parallelogram]]mets definition, sige at halvdelen af [[normalvektor]]ens længde, er lig arealet af den trekant som de to vektorer udspænder.
:<math> \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot |\vec{a} \times \vec{b}| = A_{trekant} = \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin(\theta)</math>
Krydsproduktet er hverken [[kommutativitet|kommutativt]] eller [[associativitet|associativt]].
| |||