Wikipedia

Sinusrelation: Forskelle mellem versioner

Gennemse historikken interaktivt
← Gå til forrige forskelGå til næste forskel →
Content deleted Content added
VisueltWikitekst
Præcisering af afsnit om sinusrelationernes brugsanvendelse samt nye bevis af sætningerne.~~~~
Linje 11:
Bemærk at sinusrelationen gælder for alle trekanter.
 
ForFormlen kan bruges til at brugefinde formlenenten tilsidelængder nogeteller nyttigt,vinkler laveri manen trekant ved at lave en [[ligning]] ud af to af de tre brøker, og isolererisolere enten en side eller en vinkel på den ene side af lighedstegnet. I sidstnævnte tilfælde fås, at sinus til en vinkel er lig med en given størrelse – og sådan en ligning har to principale løsninger; en stump hhv.eller en spids vinkel. Da det gælder, at <math>\sin(180-v)=\sin(v)</math> kan man ikke se forskel på stump eller spids og der kan være to løsninger til trekanten. Af den grund bruger man kun sinusrelationen til at bestemme vinkler i trekanter hvis ikke [[cosinusrelation]]erne eller andre formler giver entydige løsninger.
 
== Bevis for sinusrelationerne ==
Der findes tre formler for udregning af areal i vilkårlige trekanter, som alle er lig ''T''. (se [[trekant]]) Disse må derfor nødvendigvis være lig hinanden.<ref>Gyldendals Gymnasiematematik Grundbog B1, 1. udgave, 4. oplag 2006 ISBN 87-02-03327-4.</ref>
:<math>\frac{1}{2}\cdot{b}\cdot{c}\cdot{\sin(A)}=\frac{1}{2}\cdot{a}\cdot{c}\cdot{\sin(B)}=\frac{1}{2}\cdot{a}\cdot{b}\cdot{\sin(C)}</math>
Der divideres med <math>\frac{1}{2}\cdot{a}\cdot{b}\cdot{c}</math> på alle sider af lighedstegnene:
:<math>\frac{\frac{1}{2}\cdot{b}\cdot{c}\cdot{\sin(A)}}{\frac{1}{2}\cdot{a}\cdot{b}\cdot{c}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot{a}\cdot{c}\cdot{\sin(B)}}{\frac{1}{2}\cdot{a}\cdot{b}\cdot{c}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot{a}\cdot{b}\cdot{\sin(C)}}{\frac{1}{2}\cdot{a}\cdot{b}\cdot{c}}</math>
Dette resulterer i:
:<math>\frac{\sin (A)}{a}= \frac{\sin (B)}{b}= \frac{\sin (C)}{c}</math>
 
<gallery>
Image:Bevis_for_sinusrelationerne.JPG|Bevis for sinusrelationerne
</gallery>
Vinklen A i trekanten kan udregnes af: sin(A) = h / b.
 
Vinklen B i trekanten kan udregnes af: sin(B) = h / a.
 
Isolerer man h i disse to ligninger får man: sin(A) · b = h og sin(B) · a = h<sub>c</sub>.
 
Disse to ligninger kan man sætte lig hinanden så: sin(A) · b = sin(B) · a.
 
Dette omskrives til: a / sin(A) = b / sin(B).
 
For at bevise det sidste led i sinusrelationen (c / sin(C)) gør man det samme, men man sætter bare højden vinkelret på siden b i stedet for på siden c.
 
== Se også ==
Line 36 ⟶ 28:
** [[Retvinklet trekant]]
* [[Cosinusrelation]]
 
==Kilder/referencer==
{{reflist}}
 
== Eksterne henvisninger ==
Hentet fra "https://da.wikipedia.org/wiki/Sinusrelation"