Versionen fra 10. maj 2014, 23:47 redigér UsernameHere (diskussion \| bidrag) 485 edits →‎Definition ← Gå til forrige forskel		Versionen fra 12. maj 2014, 20:53 redigér fjern redigering UsernameHere (diskussion \| bidrag) 485 edits Omskrivning. Tag: Visuel redigering Gå til næste forskel →
Linje 1: [[Georg Cantor\|¨]] ~~'''Uendelighed''' er betegnelsen for noget, der aldrig ender eller er uden grænser.~~ {{Flyt\|Uendelighed\|Det vil være mere korrekt at kalde det uendelighed(er), fordi der eksisterer forskellige størrelser af uendeligheder. "Uendelig" er et populistisk udtryk, som antyder at det er et tal med én bestemt størrelse. Desuden er uendelig et adjektiv.}} '''Uendeligt''' må ikke forveksles med [[tilnærmet uendeligt]], fordi der er en helt afgørende, [[kvantitativ]] forskel på noget, der er uendeligt og noget, som er meget, meget stort (eller lille). En hændelse med meget lille sandsynlighed (som f.eks. 1 million 6'ere i træk ved tilfældige slag med en terning) vil forekomme et uendeligt antal gange, hvis der er en uendelig mængde forsøg eller tid til rådighed. Er mængden af forsøg eller tiden kun meget stor, vil antallet af indtrufne hændelser altid være endeligt. '''Uendelighed''' er et abstrakt begreb, som betegner noget uden ende. Uendelighed bruges indenfor mange felter bl.a. fysik og matematik. Det synes umuligt for et menneske at sanse eller forestille sig noget uendeligt. Derimod kan begrebet forstås abstrakt ud fra nævnte negation af det endelige, hvilket gør en matematisk behandling mulig (se længere nede). == Historie == Rummet og tiden har tidligere været betragtet som uendelige størrelser.▼ Oldtidens kulturer havde vidt forskellige ideer om uendeligheder. De gamle grækere og indere havde ikke nogle præcis definition af uendeligheder, som man har i den moderne matematik. I oldtiden betragtede man mere uendligheder filosofisk end matematisk. === De tidlige grækere === Det klassiske græske argument for rummets uendelighed går som følger: Hvis en person står ved universets ende og kaster et spyd mod det, kan en af to ting ske: a) Spyddet flyver ud over universets grænse, b) spyddet møder modstand. I første tilfælde var grænsen ikke en reel grænse, og i det andet tilfælde må man formode, at dét der hindrede spyddet, selv ligger på den anden side af grænsen. ▼ Den tidligste kendte ide om uendeligheder kommer fra [[Anaximander]], en [[Førsokratikere\|førsokratiker]] fra byen [[Milet]]. Han brugte ordet, ἄπειρον, som betyder endeløst<ref>Wallace 2004, pg. 44</ref>. Den første matematiske forståelse af uendelighed kommer fra [[Zenon fra Elea]]. Zenon fra Elea er bedst kendt for hans paradokser om uendelighed (se [[Zenons paradoks]]), disse er dog ikke længere opfattet som paradokser, da man i dag ved at man kan summerer en uendelig række til en endelig værdi. [[Euclides da Cunha\|Euclid]] (som bevidste at der er uendelig mange primtal) sagde ikke at der var uendelig mange, men istedet at der er flere primtal end der er indeholdt i en givet samling af tal.<ref>Elementerne, Bog IX.</ref> Ifølge moderne fysik giver det ingen mening at tale om tid før universets begyndelse ved [[Big Bang]]. Tiden begyndte altså for ca. 13,7 milliarder år siden (med en usikkerhed på 200 millioner år). Vi ved ikke, om – eller hvornår – tiden ender, så tiden er ''muligvis'' uendelig, dvs. [[evig]] (ud af den positive akse). ▼ === ~~Inden~~De ~~for~~tidlige ~~matematikken~~indere === I den matematiske indiske tekst, Surya Prajnapti (3.-4. år efter Kristus), klassificeres alle tal i grupperne: Tallige, utallige og uendelige. Talrækken er ikke praktisk uendelig, men ''teoretisk uendelig''. Der er en praktisk grænse for, hvor mange cifre et tal kan have for at man kan regne med det. Udviklingen inden for computere har forøget mulighederne meget, men selv den bedste computer har en grænse for sin kapacitet (hvor dét, der er brug for i dette tilfælde, er ''ubegrænset'' kapacitet). === Symbolet for uendeligt === ~~Antallet af partikler der er i universet, er I [[Simon Singh]]s bog om [[Fermats sidste sætning]] angivet at være 10<sup>89</sup>, det giver en fornemmelse af [[store tal]]s størrelse.~~ Symbolet for uendelighed blev introduceret af [[John Wallis]] i 1655<ref>Scott, Joseph Frederick (1981), ''The mathematical work of John Wallis, D.D., F.R.S., (1616–1703)'' (2 ed.), American Mathematical Society, s. 24, ISBN 0-8284-0314-7.</ref>. Der går flere rygter om hvad det symbol symboliserer, det siges bl.a. at det skal forstille en slange, der bider sig selv i halen. === Forskellige størrelser af uendelighed === Det tredjestørste tal med et selvstændigt navn, er en [[googol]]. En googol er et éttal efterfulgt af 100 nuller, mens det næststørste navngivne tal er en googolplex hvilket er et éttal efterfulgt af en googol nuller. Det største navngivne tal er en googolplexian, som er et éttal efterfulgt af en googolplex nuller (<math>10^{10^{10^{100}}}</math>) (se [[store tal]]). Symbolet for det ''uendeligt'' store tal er et liggende 8-tal ( ∞ ). I 1866 fik [[Georg Cantor\|Georg Cantors]] ideen om at uendeligheder kunne have forskellige størrelser. Hans arbejde udgjorde noget fundamentalt i moderne matematik. [[Leopold Kronecker]], Cantors tidligere professor, var skeptisk overfor denne ide og udviklede derfor [[finitisme]]. Finitisme er matematik-filosofien, som ikke accepterer uendelige matematiske objekter (tal, mængder osv.). Finitismen mener f.eks. at alle naturlige tal eksisterer men mængden af de naturlige tal kan ikke betragtes som et matematisk objekt. == Matematik == === Uendeligheder som tal === Det teoretiske arbejde med uendelige størrelser er krævende. Matematikeren [[Georg Cantor]]s arbejde inden for dette område er i dag en integreret del af [[matematik]]ken og benyttes f.eks. til løsning af [[Zenons paradoks]] om Achilleus og skildpadden. Uendeligheder er nogle gange betragtet som tal, dog er en uendelighed ikke et reelt tal. Et eksempel på en taltype, som tillader uendeligheder, er de [[surreelle tal]]. === Mængdelære === I udviklingen af [[mængdelære]] har det været nødvendigt at indføre forskellige niveauer af uendelighed. Det kan vises at mængden af [[naturlige tal]] har samme størrelse (kardinalitet) som mængden af [[rationale tal]] mens mængden af [[reelle tal]] er væsentligt større. De første to mængder siges at være [[tællelighed\|tælleligt]] uendelige og den sidste [[overtællelighed\|overtælleligt]] uendelig. I mængdelæren har uendeligheder forskellige størrelser. Den mindste uendelighed er "antallet" (kardinaliteten) af naturlige tal. En [[mængde]] er uendelig (den har uendeligt mange elementer), hvis der eksisterer en [[ægte delmængde]] af mængden (en [[delmængde]], der ikke indholder alle elementer i mængden), der har samme [[kardinalitet]] som mængden selv. Det vil sige, at der eksisterer en [[bijektion]] fra A til B, hvor B ⊂ A.▼ ~~== Definition ==~~ ▲En [[mængde]] er uendelig (den har uendeligt mange elementer), hvis der eksisterer en [[ægte delmængde]] af mængden (en [[delmængde]], der ikke indholder alle elementer i mængden), der har samme [[kardinalitet]] som mængden selv. Det vil sige, at der eksisterer en bijektion fra A til B, hvor B ⊂ A. F.eks. forestil dig mængden af de [[naturlige tal]] (ℕ) og mængden af [[kvadrattal]]. Der eksisterer en [[bijektion]] fra de naturlige tal til kvadrattalene: f(x)=x², da for ethvert element i ℕ findes der et tilsvarende element i kvadrattalene (f(n)=n²), samtidigt med at kvadrattalene er ægte delmængde af de naturlige tal. Derfor er antallet af naturlige tal uendeligt. Denne definition blev udviklet af [[~~George~~Georg Cantor]], som løsning på [[Galileos paradoks]] (beviset af at der er lige så mange naturlige tal som kvadrattal)<ref>[http://www.hanshuttel.dk/wordpress/wp-content/uploads/2011/10/paradokser.pdf Hans Hüttle: Et katalog over paradokser]</ref>. Denne definition er mærkelig, da kardinalitet normalt forstås som størrelsen af en mængde (pga. det er lig antallet af elementer i en endelig mængde, derfor "antages" det at det også er i uendelige mængder) og det vil være rationelt at sige at den ægte delmængde af en mængden er mindre end selve mængden, men dette gælder kun for endelige mængder, en måde dette fænomen kan forklares på er ved at sige at der altid vil eksistere en ægte delmængde, som kun er et endeligt antal elementer mindre end den oprindelige mængde (f.eks. en del mængde, hvor kun et element er fjernet), og da et endeligt tal er uendeligt småt i forhold til en uendelighed har dette ingen betydning (lim<sub>u→∞</sub>u-n = lim<sub>u→∞</sub>u) og mængden vil stadig have samme størelse. I mængdelæren taler man om [[Tællelighed\|tællelige]] og [[Overtællelig\|overtællelige]] mængder. En tællelig mængde er en mængde, som har samme kardinalitet som de naturlige tals mængde, og en overtællelig mængde er en mængde med højere kardinalitet. Eksempler på tællelige mængder er [[Naturlige tal\|de naturlige tal]], [[Rationelle tal\|de rationelle tal]] og [[Beregnelige tal\|de beregnelige tal]]. Eksempler på overtællelige mængder er [[de reelle tal]], [[Russels paradoks\|Russells mængde]] (fra Russells paradoks), [[irrationelle tal]] og ethvert [[Interval (matematik)\|interval]] af reelle tal. ~~== Uendelighed kan begribes og bruges ==~~ ~~{{Irrelevant}}~~ For at forstå uendelighed er det bedst at forstå endelighed først, idet denne er defineret. Vi starter. Alt med almindelig jordmenneskeskelig forstand er endeligt, når det er defineret, uanset kompleksitet ud fra regelsætning af betragtninger. Her er så en undtagelse, og det er uendelighedsbegrebet. Uendelighed kan også erkendes eller indses. === Reel analyse === ~~Et godt eksempel er spørgsmålet: hvor er vi i "rummet" (cosmos)?~~ I reel analyse betegner symbolet, ∞ (kaldet uendelig), et tal, som approksimerer en uendelighed, altså ∞ = lim<sub>u→∞</sub>u. Denne uendelighed har ingen "størrelse" og er derfor entydig. Denne notation bruges f.eks. til summationer og integraler: <math>\int_{-\infty}^{\infty} \, f(x)\ dx \ </math> betyder hele arealet under kurven af f(x). Havde vi en endelig definition af cosmos kunne vi give et endelig svar. Kendte vi grænsen i cosmos, så vidste vi, hvor vi var deri; men denne konstatering afføder næste spørgsmål: hvad er der på den anden side af grænsen? Indlysende indses at endelighed blot er et stoppested i uendeligheden og derfor indeholdt i denne. Det er således tanken, der rumliggør cosmos til en endelighed, men tanken søger videre, for den har tilsyneladende forstået at endelighed blot er én antagelse plukket ud af uendelig mange. <math>\int_{a}^{b} \, f(x)\ dx \ = \infty</math> betyder at arealet fra a til b under kurven af f(x) er uendeligt. Ved nærmere eftertanke er uendeligheden egentlig mere begribelig en endelighed. Erkendes uendelighed forstås alle endeligheders medfødte begrænsninger og særlig vigtigt forstås deres indbyrdes sammenhæng og værdi. Denne klarhed er dog generelt undertrykt af mennesker, så status quo ikke forstyrres. Inden for holistisk relaterede områder er begrebet dog anvendt som udgangspunkt, netop for at afkode regelproblematiker og for at skabe varietéter til løsningsdannelse. Nogens hjerner er imidlertid så disciplinerede, så uendelighedsbegrebet forstyrrer deres mentale jeg, og de afstår fra at acceptere begrebet. Så spektret af begrebets brugere er multidifferentieret og debatten "uendelig". <math>\sum_{i=0}^{\infty} \, f(i)</math> betyder summen af f(i) over i for alle naturlige tal inklusiv 0. <math>\sum_{i=0}^{\infty} \, f(i)</math> betyder at summen ikke [[Konvergere\|konvergerer]]. Derudover betyder ''dx'' (i integraler) en [[infinitesimal]] altså en "uendeligdel". Hvis man undlader ''dx'' vil integralet ofte blive uendeligt. === Kompleks analyse === I [[kompleks analyse]] er "uendelig" også en [[approksimation]], men denne gang er z uendeligt, hvis \|z\|→∞. Dette kan visualiseres som en cirkel med uendelig radius på [[den komplekse plan]]. == Fysik == === '''Rum og tids størrelse''' === ▲Rummet og tiden har tidligere været betragtet som uendelige størrelser. ▲Det klassiske græske argument for rummets uendelighed går som følger: Hvis en person står ved universets ende og kaster et spyd mod det, kan en af to ting ske: a) Spyddet flyver ud over universets grænse, b) ~~spyddet~~Spyddet møder modstand. I første tilfælde var grænsen ikke en reel grænse, og i det andet tilfælde må man formode, at dét der hindrede spyddet, selv ligger på den anden side af grænsen. Tanken er hos alle indbegrebet af uendelighed. Så erkendes uendelighed forstås at alt bevæger sig, og alt der bevæger sig skaber ændringer, og liv er netop en kontinuitet af ændringer.Dette gælder såvel mikrocosmos som makrocosmos. Det ses at uendelighed manifesterer sig i det aktuelle globale samfund idet politik, videnskab, økonomi, skoling, kirke i deres fastlåsthed og regelsathed halter mere og mere bagved den individuelle menneskelige tænkeevne, så samfundets udvikling tager sin egen vej ad den rigelige plads hos uendeligheden. Uendelighed er en tillidssag og skabt af tankerne vi alle har. Kun fordi vi skal bruge den til at rumme de løsninger vi ønsker. Så cosmiske er vi! Rummets topologi er dog stadigt ukendt. Der er to hovedeteorier om rummets topologi: Den første teori påstår at rummet er en lukket topologi, hvilket betyder at rummet er endeligt og hvis man rejser til enden af rummet vil man bare "komme tilbage" fra den anden side, den anden teori påstår at rummet er en næsten flad (ikke helt flad pga. [[rumtidskrumninger]]) "plade", som har en uendelig overflade. ~~Til begrebet "uendelig" knytter sig "alt og [[Intet (begreb)\|intet]]", som henviser til det kendte univers og hvad der er ukendt – underforstået at ikke erkendte ting jævnlig bliver os bekendte.~~ ~~Det, der tricker mange, er at tanken kan anskue det "objektivt" samtidig som den er i det.~~ ▲Ifølge moderne fysik giver det ingen mening at tale om tid før universets begyndelse ved [[ Big Bang]]. Tiden begyndte altså for ca. 13,7 milliarder år siden (med en usikkerhed på 200 millioner år). ViDet ~~ved~~vides ikke, om – eller hvornår – tiden ender, så tiden er ''muligvis'' uendelig, dvs. [[ evig]] (ud af den positive akse). == Se også == * [[Sætningen om uendeligt mange aber]] Line 49 ⟶ 68: * [[Ikke-tællelig]] * [[Cantors diagonalbevis]] * [[Kardinalitet]] * [[Mængdelære]] == Kilder == <references /> == Eksterne henvisninger == * [http://oplysning.nu/2007/09/16/uendelighedsproblematikken-i-matematikken/ Lydforedrag om matematisk uendelighed] ved Flemming Topsøe, docent i matematik på Københavns Universitet

Uendelighed: Forskelle mellem versioner