Sandsynlighedsregning: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
Ramloser (diskussion | bidrag) m lidt bedre forklaringer |
|||
Linje 14:
Basis for sandsynlighedsregningen er begreberne ''eksperiment'' og ''udfald''. Et eksperiment er en beskrivelse af en række handlinger og omstændigheder, hvoraf resultatet ikke på forhånd kan kendes. Et resultat af et eksperiment kaldes et udfald og mængden af samtlige mulige udfald af et eksperiment kaldes udfaldsrummet for eksperimentet og betegnes ofte med <math>\Omega</math>. Hvis alle udfald har samme sandsynlighed er der tale om et [[symmetri]]sk sandsynlighedsfelt.
For at det giver mening at tale om sandsynligheder af udfald er det vigtigt at eksperimentet er beskrevet tilstrækkeligt detaljeret, således at det er muligt at reproducere og gentage eksperimentet et vilkårligt antal gange.
'''Eksempel:''' Et eksempel på et eksperiment kunne være "kast en mønt på en plan overflade" og det tilhørende udfaldsrum vil være <math>\Omega=\{\text{plat}, \text{krone}\}</math>.
Linje 22:
Sandsynligheden for et bestemt udfald, er forholdet mellem antal gange udfaldet forekommer og antallet af gange eksperimentet er udført, når man bliver ved med at udføre eksperimentet (i teorien uendeligt mange gange). Sandsynligheden for udfaldet <math>\omega\in\Omega</math> er derfor <math>n_\omega/N</math>, hvor <math>N</math> er antal gange eksperimentet er udført og <math>n_\omega</math> er antal eksperimenter, hvor udfaldet blev <math>\omega</math>. Ud fra definitionen er det klart at en sandsynlighed antager værdier i [[interval]]let <math>[0,1]</math>.
I praksis kan man naturligvis ikke udføre et eksperiment uendeligt mange gange, og man vil derfor nøjes med at udføre det et tilstrækkeligt stort antal gange og eventuelt benytte [[sociologisk metode| statistiske metoder]] til at estimere sandsynligheden. Ofte fastsætter man dog også sandsynlighederne ud fra eksperimentets beskrivelse. I eksemplet med møntkastet vil man f.eks. antage, at sandsynligheden for begge udfald er <math>\tfrac12</math>. Ved et terningekast med en almindelig seks-sidet terning vil man tilsvarende antage, at sandsynligheden er en <math>\tfrac16</math> for hvert af udfaldene. Sandsynligheden kan også udtrykkes som [[odds]], i tilfældet terningekast er odds for udfaldet "en sekser" 1:6
Formelt set er det dog ikke selve udfaldene, man bestemmer sandsynligheden af, men derimod [[Delmængde|delmængder]] af udfaldsrummet kaldet ''hændelser''. Den mindste hændelse er den tomme mængde <math>\emptyset</math>, som kaldes den ''umulige hændelse'' og har sandsynligheden [[0 (tal)|0]]. Mængden <math>\Omega</math> af samtlige udfald kaldes den ''sikre hændelse'' og har sandsynligheden [[1 (tal)|1]]. Det er ikke altid nødvendigt eller muligt at tilskrive en sandsynlighed til alle hændelser, når antallet af udfald er uendeligt, men mængden af hændelser skal være en [[Sigma-algebra|<math>\sigma</math>-algebra]].
=== Sandsynlighedsmål ===
Linje 38:
=== Betinget sandsynlighed ===
Hvis vi betragter to hændelser <math>A</math> og <math>B</math> kan vi være interesseret i at beskrive sandsynligheden af, at <math>A</math> indtræffer i netop de tilfælde hvor <math>B</math> også forekommer. Dette kaldes ''betinget sandsynlighed'' og er formelt defineret ved
:<math>P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) \neq 0.</math>
Her læses <math>P(A|B)</math> som sandsynligheden for <math>A</math> givet <math>B</math>.
Linje 44:
=== Uafhængige hændelser ===
Det er ikke altid, at forekomsten af en hændelse <math>B</math> medfører at sandsynligheden for en anden hændelse <math>A</math> ændres. Det vil sige at <math>P(A|B) = P(A)</math>, og når denne betingelse er opfyldt, siges <math>A</math> og <math>B</math> at være ''uafhængige''.
=== Tilbagelægning ===
Tilbagelægning af en indfundet hændelse betyder, at sandsynligheden for hvert eksperiment vil være nøjagtig ens. Dette illustreres ofte ved eksempler fra udtrækning af kort. Hvis eksperimentet går ud på at trække et kort fra et normalt kortspil med 52 forskellige værdier af kortene, har hvert kort samme sandsynlighed 1/52. Hvis det trukne kort lægges tilbage i bunken, er sandsynligheden igen 1/52 for at trække hvert enkelt kort. Hvis kortet derimod ikke lægges tilbage, er sandsynligheden ved næste eksperiment 1/51 for hvert tilbageværende kort. Dette kan også udtrykkes som ændring af [[odds]] for det næste udfald. Når der kun er et kort tilbage, er udtrækningen ''den sikre hændelse''.
=== Stokastisk variabel ===
| |||