Andengradsligning: Forskelle mellem versioner

* ''d'' > 0, er der to forskellige rødder, idet ''x''₁ og ''x''₂ giver forskellige resultater.

 

Da parablen er symmetrisk omkring den lodrette, stiplede linje, der går gennem toppunktet (jf. figur 1 samt [[Andengradsligning#Bevis for parablens symmetri|Bevis for parablens symmetri]]), kan ''s'' beregnes ved at bestemme ''x'' i nedenstående ligning, hvor ''h'' er et vilkårligt reelt tal:

 

<math>t=\frac{-\left(b^2-4ac\right)}{4a}=\frac{-d}{4a}</math>.

 

Med fundet af toppunktet <math>\left(s,t\right)</math> kan andengradsligningen også skrives med [[Andengradsligning#Toppunktsnotation (vertex form)|Toppunktsnotation]]:

 

<math>y=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)</math>.

 

Differentieres andengradspolynomiet, kan ''s'' også bestemmes som det ''x'', i hvilket [[parablens tangent]], der er et såkaldt [[approksimerende førstegradspolynomium]], har hældningen 0 og dermed fremstår som en vandret linje. Det gøres sådan:

 

<math>y=f'\left(s\right)\left(x-s\right)+f\left(s\right).</math>

 

Hvis parablen er symmetrisk omkring ''s'', og ''h'' er et vilkårligt reelt tal, så gælder det for alle værdier af ''h'', at:

 

<math>t=\frac{-d}{4a}</math> , og hermed er beviset fuldført.

 

Skrivemåden <math>a\left(x-s\right)^2+t=0</math>,

 

<math>ax^2+bx+c=0.</math>

 

Egentlig er et polynomium hverken en funktion eller en ligning, men blot en (fler)leddet størrelse, hvis led har en række nærmere bestemte karakteristika. Alligevel kaldes fx. parablens ligning/funktionsforskrift på dansk for et andengradspolynomium, hvor man på engelsk benytter betegnelsen [[polynomial]] (dvs. polynomiumsagtig eller polynomiumslignende) function/equation, så snart størrelsen optræder i forbindelse med et lighedstegn! I en del opslagsværker bliver det nævnt, at 'poly' betyder mange, mens 'nomium' er afledt af det latinske begreb nomen, der betyder navn eller term eller lignende, uden at det gøres rigtigt klart, hvad det er, der er (eller kan være) mange af. Men det er altså det/de nærmere bestemte led, der refereres til, selvom et polynomium sagtens kan bestå af kun ét led.