|
tissemand
[[Fil:Exponentials(2).svg|thumb|Illustrering af hvordan en funktion vokser eksponentielt]]
Den '''eksponentielle vækst''' er en måde, hvorpå en mængde kan forøges eller formindskes. Dette er f.eks. formeringen af bakterier eller henfald af radioaktive stoffer. [[Rentes rente|Renters rente]] er også et eksempel på en eksponentiel vækst.
== Matematisk udformning ==
En eksponentiel vækst (også kaldt procentuel vækst) kan skrives på formen
<math>f(x)=b \cdot a^x</math>,
En eksponentiel vækst vil danne en ret linje på enkeltlogaritmisk papir.
hvor <math>a > 0\,</math> og <math>a \neq 1</math>. <math>a</math> er udviklingshastigheden – også kaldet grundtallet for funktionen.
Bemærk desuden at,
* hvis <math>a>1</math> vil grafen være stigende ([[voksende funktion]]).
* hvis <math>a=1</math> vil grafen være en vandret linje ([[konstant funktion]]).
* hvis <math>0<a<1</math> vil grafen være faldende ([[aftagende funktion]]).
Kendes to punkter <math>A(x_1,y_1)</math> og <math>B(x_2,y_2)</math> kan konstanten <math>a</math> findes ved formlen:
<math>a = \sqrt[x_2 - x_1]{\frac{y_2}{y_1}}</math>
<math>b</math> kan herefter findes ud fra <math>A</math> eller <math>B</math>:
<math>b = \frac{y_1}{a^{x_{1}}}</math> eller <math>b = \frac{y_2}{a^{x_2}}</math>
=== Eksponentialfunktion ===
Eksponentialfunktionen ''e''<sup>''x''</sup> kan defineres på flere forskellige ækvivalente måder som en uendelig [[række (matematik)|række]]. Specielt kan den defineres ved [[potensrække]]n:
: <math>e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots</math>
eller som [[grænseværdi (matematik)|grænseværdien]] af en [[talfølge]]:
: <math>e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n.</math>
I disse definitioner er <math>n!</math> [[fakultet (matematik)|fakultetet]] af ''n'', og ''x'' kan eksempelvis være et [[reelle tal|reelt tal]], [[komplekse tal|komplekst tal]], et element i en [[Banachalgebra]] (eksempelvis en [[kvadratisk matrix]]) eller et element i legemet af [[p-adiske tal|''p''-adiske tal]].
==== Bestemmelse af fordoblings- og halveringskonstanten i en eksponentialfunktion ====
[[Fordoblingskonstant]]en og [[halveringskonstant]]en er udtryk der bruges om eksponentiel udvikling og fortæller, hvor langt man skal gå ud ad [[abscisseakse]]n for at få fordoblet (eller halveret) [[funktionsværdi]]en, denne længde er nemlig konstant.
===== Sætningen =====
En eksponentielt voksende funktion er generelt skrevet:
<math>f(x) = b \cdot a^x, \quad a,b,x \in \mathbb{R}, a>0, b>0</math>
Fordoblings- og halveringskonstanten <math>T_2</math> er i denne givet som:
<math>T_2 = \frac{\log(2)}{\log(a)}</math>
Ved halveringskonstanten er det dog ikke log(2) men log(0,5) (som er det samme som -log(2)), altså gælder:
<math>T_{1/2} = \frac{\log(0{,}5)}{\log(a)}</math>
Dette skal bevises.
===== Beviset =====
Vi ved, at når vi adderer <math>T_2</math> til et givet punkt, så skal funktionsværdien blive dobbelt så stor. Udtrykt matematisk er dette:
<math>f(x+T_2) = 2 \cdot f(x)</math>
[[Billede:Double.JPG|right|Bestemmelse af fordoblings- og halveringskonstanten i en eksponentialfunktion]]
Hvis vi overfører dette til den generelle eksponentialfunktion, bliver det følgende.
<math>b \cdot a^{x+T_2}=2 \cdot b \cdot a^{x}</math>
Herefter benyttes almen og logarimisk algebra til at isolere <math>T_2</math>.
<math> a^{x+T_2}= a^{x} \cdot a^{T_2} = 2 \cdot a^{x}</math>
<math>\Updownarrow</math>
<math> a^{T_2}= 2 </math>
<math>\Updownarrow</math>
<math> \log \left( a^{T_2} \right)= \log\left( 2 \right) </math>
<math>\Updownarrow</math>
<math> T_2 \cdot \log \left( a \right)= \log\left( 2 \right) </math>
<math>\Updownarrow</math>
<math> T_2 = \frac {\log(2)}{\log(a)} </math>
<div style="text-align:center;"><math>Q.E.D.</math></div>
Sætningen er dermed bevist.
== Eksempel ==
Som et eksempel kigges på formeringen af [[bakterier]]: Start med fem bakterier og antag at en bakterie deler sig en gang i minuttet.
Ved starten, dvs. ved tiden <math>t = 0</math> haves altså 5 bakterier. Efter et minut haves 10, efter to minutter 20, efter tre minutter 40, efter fire minutter 80.
Matematisk set vil det omtalte eksempel have formlen <math>f(x) = 5 \cdot 2^x</math>, hvor f(x) er antal bakterier og x betegner tiden i minutter. Efter f.eks. 10 minutter vil der altså være <math>f(10) = 5 \cdot 2^{10} = 5.120</math> bakterier.
== Væksthastighed ==
Som det kan ses i eksemplet, vokser eksponentielle funktioner meget hurtigt. Det er en kendt regel, at de vokser hurtigere end [[Potens (matematik)|potensfunktioner]]. Deres væksthastighed fås ved [[Differentialregning|differentiering]]:
<math>\frac{d}{dx}(b \cdot a^x) = b \cdot \ln(a) \cdot a^x</math>
Altså: En eksponentiel funktions væksthastighed er i sig selv en eksponentiel funktion. Faktisk vokser hastigheden hurtigere end selve funktionen, grundet det ekstra led <math>\ln(a)</math>. Og faktisk vokser accelerationen af denne endnu hurtigere, idet:
<math>\frac{d}{dx}(b \cdot \ln(a) \cdot a^x) = b \cdot \ln(a)^2 \cdot a^x</math>
En potentiel udvikling er ikke lige så hurtig. Dette ses tydeligt, idet:
<math>\frac{d}{dx}(b \cdot x^a) = b \cdot a \cdot x^{a-1}</math>
Og fortsat:<math>\frac{d}{dx}(b \cdot a \cdot x^{a-1}) = b \cdot a \cdot (a-1) \cdot x^{a-2}</math>
Er funktionen et [[polynomium]], fås snart en konstant: <math>b \cdot a!</math>, som ved næste differentiering bliver væk.
== Se også ==
{{Commonscat|Exponential functions}}
[[Kategori:Funktioner]]
| 