Uegentligt integral
Et uegentligt integral er indenfor matematikken en bestemt type af integraler, som kort sagt beskæftiger sig med uendeligheder.
Der findes to forskellige typer af uegentlige integraler:
- Ubegrænset mængde (intervalet er uendeligt)
- Ubegrænset integrand (funktionen der integreres over antager uendeligt store værdier)
Definition
redigérDen første type uegentlige integral skrives
og siges at være konvergent, hvis funktionen defineret ved
har en endelig grænseværdi for . Er det tilfældet tilskrives integralet grænseværdiens værdi, hvilket skrives
Hvis omvendt er divergent for tilskrives integralet ingen værdi.
Den anden type uegentlige integral fremkommer i situationen, hvor en funktion betragtes. I analogi med det foregående skrives integralet
og det siges at være konvergent, hvis funktionen defineret ved
har en grænseværdi for (hvor der her med menes " gående fra højre".) Integralet tilskrives som før grænseværdiens værdi og skrives
og som før siges integralet at være divergent, hvis divergerer for .
Eksempler
redigérEt eksempel på den første type med ubegrænset mængde kunne være nedenstående.
Et eksempel på det andet tilfælde, altså ubegrænset integrand, kunne være nedenstående hvor der skal lægges mærke til at der integreres fra nul hvor funktionen ikke er defineret.
Lad os betragte et eksempel, der viser den egentlige fremgangsmåde, nemlig integralet
Benyttes definitionen, fås at
Integralet vil med de angivne grænser altså være konvergent med værdien ½.