Åbn hovedmenuen

Indenfor kvantemekanik, er bra–ket notation eller Dirac-notation en standard notation til at beskrive kvantetilstande. Bra–ket notation udgøres af tegnene "⟨", "⟩" og "|". Bra–ket notation kan også anvendes til at beskrive abstrakte vektorer og lineære funktionaler i matematik.

⟨a, b | ab = ba2⟩ En ket skrives som startende med en lodret streg "|"; indeholdende en reference fx "v" - og sluttende med "⟩" - fx "|v⟩" - og er en abstrakt søjlevektor med indgange, der er komplekse tal. En ket beskriver en tilstand af den/de partikler der er under diskussion. I den sammenhæng er funktioner også vektorer i et vektorrum (ofte af uendelig mange dimensioner), hvis de opfylder nogle generelle krav (man kan kalde dem fysiske funktioner). Vektorerne danner et komplekst Hilbertrum. Vektorer af forskellig dimension er medlemmer af forskellige Hilbertrum.

For funktioner er normen et integral over et interval af produktet af funktionen med sin Hermitesk konjugerede:

Intervallet kan for fysiske funktioner ofte gå fra negativt uendelig til positivt uendelig idet man ofte forventer at fysiske funktioner forsvinder der - det vil sige at de er matematisk integrable og derved kan regnes på.

Løst sagt kan man sige, at en fysisk funktion hvis integrale eksisterer, er medlem af et Hilbertrum (det er fx en forudsætning for at funktioner kan Fouriertransformeres, Laplacetransformeres, udsættes for Heaviside operatorer og kvanteoperatorer etc.)

En bra skrives som startende med "⟨"; indeholdende en reference, fx "v", og sluttende med "|" - fx "⟨v|" og er den komplekst konjugerede og transponerede af |v⟩. Det vil sige, at hvis |v⟩ er en søjlevektor så er ⟨v| en rækkevektor; men vektorindgangene er konjugerede. Man bruger for kombinationen af konjugering og transponering tegnet "dagger":

Det indre produkt af to vektorer er ⟨v|v⟩ (det der er med til at definere Hilbertrummet) og er et reelt tal, idet det er en længde. Er fx |v⟩ = a+ib så er ⟨v| = a-ib og ⟨v|v⟩ = a 2 + b 2. Et komplekst tal er en vektor af dimension 1.

Måling som operation angives som M. I egenværdiligningen nedenfor er k egenværdien (resultatet af målingen) og der vil være et antal af kvantetilstande svarende til antallet af egenværdierne, |v⟩ er egenvektoren;

Operatorerne, der er observable, er Hermiteske matricer. Hermiteske matricer har ligesom symmetriske matricer reelle egenværdier (man kan ikke have et komplekst tal som en måleværdi), og de er naturligvis kvadratiske. Til disse definitioner hører nogle postulater for kvantefysikken se fx [1].

For Hermiteske matricer gælder , hvilket også kan anvendes som definitionen. Alle egenvektorerne danner en ortogonal basis i deres Hilbertrum (i tilfælde af flere egenvektorer for samme egenværdi er de ikke nødvendigvis ortogonale, men kan gøres ortogonale). Det betyder, at alle tilstande kan beskrives som en sum (superposition) af disse basistilstande - altså:

Normalt normeres basisvektorerne til længden 1, hvilket giver , hvor I er enhedsmatricen for den relevante dimension. Alfaværdierne er amplituden (en betegnelse opfundet af Feynman) af hver basisvektor. Amplituden for at måle er således:

sandsynligheden er

I denne terminologi er tilstandene ikke nødvendigvis beskrevet som bølger. Schrödingers bølger er et specialtilfælde.

Baneimpulsmomentet kan defineres ved en operator, som normalt kaldes i analogi med den klassiske definition. Det er forskelligt fra spinmoment, men opfører sig algebraisk meget på samme måde. Spinmoment og impulsmoment kan adderes til et totalt impulsmoment . I et plan, hvor rotation er defineret ved en vinkel, er hvilket giver en løsning til dens egenligning . Det totale impulsmoment er:

Kommutatorrelationerne er som er analoge til den klassiske relation hvor kommutatorerne erstattes af Poisson parenteser og der ingen komplekse værdier eller plancks konstant hbar.

Impulsmomentvektoren kan kvadreres og dens egenværdier er , har heltallige værdier.

Anvendes z-aksen (arbitrært) som reference, bliver egenværdiligning med egenværdien m. Defineres et par operatorer

finder man at de virker som hæve- og sænkeoperatorer på kvantetilstanden m op eller ned til den maximale værdi .

Kilder/referencerRediger