Komplekse tal

Ved et komplekst tal[1][2][3][4] forstås en størrelse , som er en sum af to komponenter, ét reelt tal (realdelen) og et andet reelt tal (imaginærdelen) ganget med den imaginære enhedsstørrelse . Et komplekst tal kan derfor repræsenteres ved to reelle tal, og illustreres som et punkt i et koordinatsystem kaldet et Argand-diagram med en reel og en imaginær akse.

Et komplekst tal kan illustreres med et punkt (sort prik) i et talplan, hvor realdelen afsættes ud af førsteaksen (Re) og imaginærdelen afsættes op ad andenaksen (Im). Beliggenheden af de tre komplekse tal , og er angivet med farvede prikker.

Et komplekst tal skrives på formen

hvor og som angivet er vilkårlige reelle tal og hvor er en særligt konstrueret størrelse med egenskaben

Da det for ethvert reelt tal gælder, at , kan ikke være et reelt tal; størrelsen kaldes den imaginære enhed. Populært omtales også som "kvadratroden af -1", og det er netop en af de kendetegnende egenskaber ved komplekse tal, at et komplekst tal opløftet i 2. potens kan blive et negativt tal (modsat de reelle tal hvor selv et negativt tal i 2. potens altid er et positivt resultat).

En stringent definition af de komplekse tal og den imaginære enhed gives i dette afsnit. Den historiske udvikling beskrives i det historiske afsnit. Endelig er der et afsnit om anvendelse i matematik, fysik og teknik.

Reelle kontra komplekse talRediger

Nedenstående figurer illustrerer løst forskellen på reelle og komplekse tal.

 
Øverste panel: Den reelle, éndimensionale talakse. Punkter med heltallige koordinater er markeret med prikker. Specielt er de reelle tal 0 og 1 angivet med grøn og rød farve. Ved addition parallelforskydes talaksen, på figuren adderes tallet -2.3 (eller 2.3 trækkes fra). Nederste panel: Ved multiplikation strækkes eller sammentrækkes talaksen, på figuren multipliceres med tallet 1.6.

De reelle tal er en éndimensional talmængde og kan derfor opfattes som punkter på en tallinie. Addition svarer til en parallelforskydning langs linjen og multiplikation svarer til en strækning af linjen.

 
Øverste panel: Det komplekse, todimensionale talplan. Punkter med heltallige koordinater er markeret med et net af prikker. Specielt er de komplekse tal 0, 1 og   angivet med grøn, rød og blå farve. Ved addition parallelforskydes priknettet både i førsteaksens og andenaksens retning. På figuren adderes tallet  . Nederste panel: Ved multiplikation sker der både en strækning og en rotation af planet. På figuren mulipliceres priknettets punkter med tallet  , der dels strækker planet med faktoren 1.6, dels drejer det vinklen 60°.

De komplekse tal er en todimensional talmængde og kan derfor opfattes som punkter i et talplan. Addition svarer til en parallelforskydning af planets punkter, mens multiplikation svarer til en strækning i kombination med en rotation af planets punkter.

NotationRediger

 
Mængden af komplekse tal
betegnes med bogstavet C
med dobbeltstreg.

I matematisk litteratur optræder både rækkefølgerne  [1] og   [3] eller der veksles frit mellem dem[2][4][5]. For at fremhæve den imaginære enhed  , anbefales det, at symbolet skrives uden kursivering[6].

Inden for vekselstrøm og elektroteknik benyttes et kursiveret lille   til at betegne tidsvariable strømstyrker. Man vil her oftest støde på betegnelsen   for den imaginære enhed, selv om forvekslingsmuligheder næppe forekommer.

Her benyttes notationen  .

Inden for de reelle tal   er der tradition for at betegne variable med bogstaverne   og  ; inden for de komplekse tal   anvendes traditionelt variabelnavne som   og  .

De to dele af det komplekse tal   kaldes realdelen og imaginærdelen:

Realdelen af  :    
Imaginærdelen af  :    

Bemærk, at realdelen og imaginærdelen er reelle tal.

EntydighedRediger

Fremstilling af et komplekst tal på formen   er entydig. Antag nemlig, at der foreligger to fremstillinger:

    og    

Man kan da omskrive således:

 

hvoraf

 

Antag at  . Ved division fås da, at

 

Brøken på venstre side er et reelt tal, medens højre side er imaginær. Antagelsen   fører altså til en modstrid og må derfor forkastes, dvs.  . Videre følger, at  , så også  . De to fremstillinger er altså ens.

Elementære regneregler for komplekse talRediger

 
Summen af to komplekse tal   og   fås ved at addere deres real- og imaginærdele og kan derfor illustreres med det viste parallelogram.

Reglerne er helt de samme som for reelle tal, blot skal man erindre, at  .

Vi betragter to komplekse tal,

  og  .

Kompleks addition:

     
     

 

 

 

 

(1)

Kompleks subtraktion:

     
     

 

 

 

 

(2)

Kompleks multiplikation:

     
     
     

 

 

 

 

(3)

Kompleks division:

     
     

 

 

 

 

(4)

Kompleks konjugering:

 

 

 

 

 

(5)

Det læses "z-streg". Bemærk, at divisionen udføres ved at forlænge brøken med nævnerens konjugerede tal.


Eksempler

 

 

 

 

(Eks. 1)

Elementær regning med komplekse tal

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

De to sidste eksempler viser beregninger med to af kvadratsætningerne.

Definition af de komplekse talRediger

KonstruktionRediger

De komplekse tal   kan konstrueres med udgangspunkt i polynomier af grad 1 med koefficienter i   ( [x]) Altså polynomier på formen [7] s. 253

 

Alle komplekse tal er på samme form, hvor "x" bliver kaldt "i"

 

Når man ganger polynomier af anden grad kan man dog få polynomier af højere grad, for eksempel

 

Som en del af konstruktionen, definere vi x^2 til -1. For eksempel bliver udtrykket ovenfor til

 

Derved kan all polynomier bringes ned til grad 1 og derved den karakteristiske form af komplekse tal

Da komplekse tal også er polynomier (altså er i  [x]), gælder alle de samme regler. Vi kan derfor lægge dem sammen, trække dem fra hindanen og gange, helt på samme måde som  [x]. Man normalt ikke dividere i  [x], dog kan man alligevel dividere komplekse tal, som det næste viser

Reciprokt element

Det reciprokke element af [7] s. 46

 

er elementet

 

ved at gange de 2 tal får vi

 

 

 Hvis vi ønsker at dividere a med b, ganger vi så bare det reciprokke element af b med a

factor ring konstruktion

Den samme konstruktion af komplekse tal kan udtrykkes mere kompakt, ved brug af hi-tech sprog af abstract algebra. De komplekse tal er isomorphic til R[x]/<x^2 + 1>. Denne konstruktion er helt tilsvarende til den allerede givet. [7] Ch 12, 13 og 14

R[x] er et integral domain da R også er. x^2 + 1 er i denne ring og <x^2 + 1> er dens principal ideal. Dette er også er maksimal ideal. Så dens factor ring er et field. Denne ring er så isomorphic til de komplekse tal. For eksempel

 

Detter svare så til (efter en isomorphism)

 

De reelle tal   i de komplekse tal  Rediger

Vi betragter nu specielt den delmængde af de komplekse tal, hvis imaginærdel er nul. R er lukket indlejret mængde af R[x], derfor må R også være en lukket indlejring mængde af C. Dette betyder at R er lukket under multiplikation og addition, altså at man ikke man konstruere C fra R kun ved brug af disse operationer. På denne baggrund tillader man sig at identificere det komplekse tal   med det reelle tal  .

C kan også ses som et vector space over R. Et set basis vectors er så givet ved {1, i}. Ser man bort fra multiplikation af komplekse tal, er de komplekse tal identiske med  . For eksempel kan et udtryk i C [7] s. 330

 

Udtrykes som et i  

 

Kartesisk og polær beskrivelse af komplekse talRediger

Kartesisk beskrivelse: Kompleks talplanRediger

 
Figuren viser et komplekst tal   og dets konjugerede  ; de to ligger symmetrisk omkring den reelle talakse. Desuden illustreres, at multiplikation med   svarer til en drejning på   og at multiplikation med   (eller division med  !) svarer til en drejning på  .

Et komplekst tal   kan naturligt illustreres med et punkt med koordinaterne   i et koordinatsystem med den reelle akse som ordinat og den imaginære akse som abscisse. Dette talplan kaldes det komplekse eller det gaussiske plan eller argand-planet. Om baggrunden for disse betegnelser se det historiske afsnit.

Nogle geometriske fortolkninger:

  • Da  , svarer kompleks konjugering, jfr. ligning (5), til spejling om den reelle akse.
  • Da addition sker efter samme regel som for vektorer, kan en sum   konstrueres som et paralellogram.
  • Multiplikation med   sker ved drejning på  , division ved drejning på  .
  • Da  , fås realdelen ved projektion af   på den reelle akse.
  • Da  , fås imaginærdelen ved projektion af   på den imaginære akse.

Endvidere ses det, at real- og imaginærdel kan udtrykkes ved   og  :

 
 

Polær beskrivelse: Modulus og argumentRediger

 
Et komplekst tal   kan fastlægges både ved sine kartesiske koordinater   (som  ) og ved sine polære koordinater   (som  )). Figuren viser modulus   og argument   for dels det komplekse tal  , dels det konjugerede tal   og dels for   (med polære koordinater  . Argumentet kan vælges at ligge i vinkelintervallet   (brugt ved  ) eller i intervallet   (brugt ved  ).

Et komplekst tal  , som ikke er lig nul, kan ved siden af sine kartesiske koordinater   også beskrives ved sine polære koordinater  . Her betegner   punktets afstand fra origo   og   er den vinkel, som liniestykket   danner med den reelle akse, se figuren.

Den polære koordinat   kaldes det komplekse tals modulus eller numeriske værdi eller norm og skrives

 

Den polære koordinat   kaldes det komplekse tals argument og skrives

 

Her er   den arcustangens-funktion, som beregner den vinkel, som en linje fra origo til punktet med koordinaterne   danner med førsteaksen.

Det komplekse tal   har modulus  , men tillægges ikke noget argument.

Argumentet for et komplekst tal er en flertydig størrelse: Hvis   er argument for  , så kan også ethvert af tallene   bruges som argument, fordi addition af et multiplum af   ( eller   i gradmål) udpeger den samme retning. Man vælger ofte at lade   ligge i det halvåbne interval   ( eller i gradmål  ).


Eksempler

 

 

 

 

(Eks. 3)

         
         
         

Multiplikation og division af to komplekse tal på polær formRediger

De kartesiske koordinater for et komplekst tal   med modulus   og argument   fås ved projektion på den reelle hhv. imaginære akse:

 
 

Tallet kan derfor skrives

 .

Heraf finder vi, at produktet af to komplekse tal

         
         

bliver

     
     
     

hvor vi i den sidste omskrivning har anvendt to af de trigonometriske additionsformler. Man kan heraf konkludere, at

 
 

For   gælder, at  . Heraf slutter vi dels at

 

og dels at

 

Heraf følger

 

samt

 

Funktionen cisRediger

Den irske matematiker William Rowan Hamilton, omtalt i det historiske afsnit, indførte hjælpefunktionen   med komplekse funktionsværdier:

 

 

 

 

 

(9)

Navnet kan opfattes som en sammentrækning af cosinus, imaginær og sinus. Ved differentiation med hensyn til   fås

 

Funktionen   differentieres altså efter samme regel som en eksponentialfunktion.

Desuden har funktionen følgende egenskaber fælles med den naturlige eksponentialfunktion  :

  •  
  •  

Anvendelse af   medfører en kortere notation og forbedret læselighed, for eksempel   kontra  .

de Moivres formel og heltalspotenserRediger

Hvis man i formlen for produktet af   og   sætter  , får man

 

og for produktet af   og   fås

 

hvilket straks kan generaliseres til

 

Dette er de Moivres formel (udtales "dø mo-A-vre"). I udfoldet form lyder den

 

 

 

 

 

(10)

 
Illustration af heltalspotenser af et komplekst tal  , altså  ,  , ...  , ... Med grå farve vises potenser af  , hvor   og   og hvor potensen varierer fra   til  . Potenserne ligger alle på enhedscirklen. Med cyan farve vises potenser af  , hvor   og   og hvor potensen varierer fra   til  . Potenserne ligger alle på en indadsnoet logaritmisk spiral. Med lysegrøn farve vises potenser af  , hvor   og   og hvor potensen varierer fra   til  . Potenserne ligger alle på en udadsnoet logaritmisk spiral.

eller med anvendelse af  -funktionen, jfr. definitionen (9)

 

Opløftning af et komplekst tal   til  -te potens kan altså udføres ved at opløfte dets modulus   i  -te potens og gange dets argument   med  . Figuren viser nogle eksempler på mulige resultater.

Fordelen ved de Moivres formel for   er, at man kan beregne resultatet uden først at skulle finde værdien af mellemliggende potenser  ,  , ...  . Ulempen er, at man skal benytte beregningstunge trigonometriske funktioner i beregningen af   samt i bestemmelse af real- og imaginærdel.


Eksempler

 

 

 

 

(Eks. 4)

For det komplekse tal   er  

Potenser af   beregnet kartesisk og polært (med de Moivres formel) vises i tabellen herunder; resultaterne stemmer naturligvis overens.

Potenser af  
Potens Kartesiske  -potenser Modulus Argument Realdel Imaginærdel
           )
           
           
           
           

Komplekse enhedsrødderRediger

 
Illustration af komplekse enhedsrødder, dvs. løsninger til ligningen   for graderne   til  .

Inden for de reelle tals mængde   har ligningen   enten én eller to reelle løsninger, nemlig  , hvis   er ulige, og   og  , hvis   er lige.

Ifølge algebraens fundamentalsætning har ligningen     komplekse rødder, som nu skal bestemmes. Først konstateres, at

 .

Alle løsninger ligger altså på enhedscirklen, så   kan skrives  , hvor   er løsningens argument. Vi anvender nu de Moivres formel (10):

     
     
     
     
     

Løsningerne er altså de   komplekse tal

 

 

 

 

 

(11)

Disse ligger jævnt fordelt på enhedscirklen med et indbyrdes vinkelmellemrum på   og udspænder en regulær  -kant med et hjørne i (1,0). De kaldes for de n-te enhedsrødder. [1]:55 [3]:30

Roden med   betegnes normalt  , de øvrige er potenser af denne. Enhedsrødderne kan derfor også opremses som

 .

Figuren i det følgende afsnit illustrerer desuden enhedsrøddernes beliggenhed i tilfælde  , hvor

 .

Ligningen zⁿ = cRediger

 
Illustration af løsninger til komplekse ligninger af typen  . Grøn farve: Enhedscirklen. Rød farve: Løsninger til ligningen   (enhedsrødderne af grad 5). Blå farve: Løsninger til ligningen  . Løsningspunkterne danner i begge tilfælde en regulær femkant.

Lad   være et givet komplekst tal med modulus   og argument  . Vi søger alle løsninger til ligningen

 

Dertil skriver vi også   på polær form,   og anvender igen de Moivres formel (10):

 

Denne ligning er opfyldt, hvis

  og   eller  

Ligningens   løsninger er derfor

 

 

 

 

 

(12)


Eksempel

 

 

 

 

(Eks. 5)

Hvilke komplekse løsninger har ligningen  ?

For denne ligning er   og  , så

 

Ved udregning fås værdierne

   
   
   
   
   
   

I det komplekse plan danner de til   hørende punkter en regulær femkant, se figuren.

Kompleks andengradsligningRediger

Ligningen z² = cRediger

Her er   et vilkårligt komplekst tal. Ligningen kan løses i både kartesiske og polære koordinater:

Løsning i kartesiske koordinaterRediger

Vi sætter   og  , hvor   og   er kendte reelle tal. Opgaven er da, at finde   og  .

 
 
 

Man må opdele i forskellige tilfælde:

 
 
 
 
    og   har samme fortegn, dvs.  :
     
     
    og   har modsat fortegn, dvs.  :
     
     
 
 .
  Så må   og   dvs.  
  Så må   og   dvs.  
 
Da  , må også  , så vi kan isolere   i den anden ligning,  , og indsætte dette i den første:
 .
Denne fjerdegradsligningen er en iklædt andengradsligning med   som ubekendt. Ligningens diskriminant er
 .
Ifølge det forudsatte er  , så løsningerne er
 .
Da  , bliver højresiden negativ, hvis fortegnet   benyttes. Der er derfor kun én løsning for   og af den følger  :
 
  og   selv kan være positive eller negative, men ligningen   viser, at deres produkt skal have samme fortegn som  . Fortegnet af et reelt tal   er giver ved signum-funktionen, der defineres ved
 
Signum-funktionen er implementeret i de fleste programmerinssprog; i dansk Excel er den fordansket til "FORTEGN".
Vi kan nu opskrive ligningens løsning:
      skal have samme fortegn som  , dvs.
     
      skal have modsat fortegn af  , dvs.
     

Konklusion:

Da de tre første specialtilfælde også dækkes ind af den generelle formel, er løsningerne i alle situationer givet ved

 

 

 

 

 

(13)

De to løsninger er hinandens modsatte tal.


Eksempel

 

 

 

 

(Eks. 6)

 
Her er  
 
 

Løsning i polære koordinaterRediger

Her kan man benytte resultatet fra afsnittet, der behandlede ligningen  :

 

eller, da addition af   betyder en drejning af løsningen på   og dermed et fortegnsskift,

 

Denne metode giver løsningen ved færre regninger, men har den ulempe, at man skal bruge trigonometriske funktioner både ved bestemmelsen af argumentet   og ved brugen af  .

Eksempel

 

 

 

 

(Eks. 7)

Vi betragter igen ligningen

 

for hvilken   og  . Løsningerne bliver derfor

 
 
 

altså (naturligvis) samme resultat som ved regningen med kartesiske koordinater. Dog spiller afrundingsfejl en større rolle ved denne metode.

Rodsymboler og komplekse talRediger

For et vilkårligt ikke-negativt reelt tal,  , kan man definere tallets kvadratrod,  , som det tal, der ganget med sig selv giver  :

 

Som angivet med eksistens-kvantoren   er kvadratroden entydigt bestemt. Negative tal har ingen reel kvadratrod.

For de komplekse tal stiller sagen sig anderledes. Som vist i et tidligere afsnit, har alle komplekse tal, bortset fra  , to forskellige (og modsatte) komplekse kvadratrødder. I eksempel 6 blev det vist, at

 .

Dette kunne også skrives

 ,

hvor kvadratrodssymbolet nu bruges til at angive en flertydig størrelse. Men hvis denne notation anvendes på reelle tal, opstår der uheldige skrivemåder som [3]

 

eller endog

 

I denne ligning indeholder venstre side et komplekst, flertydigt kvadratrodssymbol, medens højre side benytter et reelt, entydigt kvadratrodssymbol.

Det er derfor uhensigtsmæssigt at benytte rodsymboler i forbindelse med komplekse tal.

Generel andengradsligningRediger

Den komplekse andengradsligning

 

kan omskrives med nøjagtig den samme fremgangsmåde, som i det reelle tilfælde til

 

hvor   som i det reelle tilfælde kaldes andengradsligningens diskriminant.

Lad nu   betegne den ene af de to løsninger til ligningen  . Som vist i forrige afsnit er den anden løsning det modsatte tal,   . Andengradsligningen har da de to løsninger

 

 

 

 

 

(14)

Bemærkning Som vist kan rødder i andengradspolynomier udtrykkes ved hjælp af kvadratrødder. Det viser sig, at bestemmelse af rødder i tredje- og fjerdegradspolynomier også kan udtrykkes ved hjælp af rodsymboler. Men for ligninger af grad 5 eller højere er dette ikke generelt muligt. Dette blev første gang bevist af den norske matematiker Niels Henrik Abel.


Eksempel

 

 

 

 

(Eks. 8)

Lad os løse den komplekse andengradsligning

 .

Vi identificerer

  •  ,
  •  ,
  •  ,

og beregner ligningens diskriminant til

 

Løsningerne til ligningen   blev fundet i eksempel 7 og en af dem er

 .

De to rødder bliver derfor

 
 .

Komplekse funktionerRediger

Reelle funktioner kan beskrives med en funktionsforskrift   og illustreres grafisk i et   koordinatsystem, hvor  -aksen indeholder definitionsmængden og  -aksen bruges til billedmængden. Det samme kan ikke gøres med funktioner med komplekse variable,  , for et komplekst tal optager jo allerede to dimensioner. I stedet kan en kompleks funktion illustreres med to koordinatsystemer, et  -system til definitionsmængden og et  -system til billedmængden.

Kompleks konjugeringRediger

Konjugering blev defineret i afsnittet om elementære regneregler. Ved udregning konstaterer man, at der gælder følgende regler for kompleks konjugering:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Bemærk, at sum og produkt af   og   er reelle tal.

Kompleks lineær funktionRediger

En kompleks lineær funktion har forskriften

 

(Hvis  , bliver   en konstant funktion, der afbilder alle punkter i den komplekse plan i det komplekse tal  ).

Specielt er

  •  
  •  
  •  .
 
Illustration af den komplekse lineære funktion  , hvor   og  . Et net af enhedskvadrater i  -planet afbildes ved   i et andet kvadratisk net i  -planet. De tre komplekse tal  ,   og   samt afbildningens fikspunkt   er i  -planet markeret med farvede prikker hhv. et sort kryds. Deres billeder i  -planet har de samme signaturer. Fikspunktet er defineret ved, at  , så det bliver som det eneste på sit oprindelige sted.

Dette illustreres på figuren med funktionen  , der også viser, hvordan et kvadratisk net i  -planet afbildes i et strakt, roteret og forskudt kvadratisk net i  -planet. Matematisk set er der tale om en ligedannethed.

Vi betragter først to specialtilfælde:

  1.  : Så er  , dvs. funktionen foretager en parallelforskydning med  .
  2.  : Så er  . For kortheds skyld kalder vi funktionsværdien for  ,  .
Vi har da
 : Multiplikation ud fra (0, 0) med  .
 : Rotation omkring (0,0) med  .

Herefter ser vi på det generelle tilfælde, hvor  :

Funktionen har da netop et fikspunkt   defineret ved, at  :

 .

Betegner vi som ovenfor funktionsværdien med  , kan vi omskrive således:

 
 

Heraf fremgår, at   strækker og roterer som omtalt ovenover, men gør det centreret på fikspunktet  . Det orange kvadrat, som vises i  -planen på figuren, afbildes ved   i det orange kvadrat i  -planet. Det sker ved

  1. en strækning ud fra   med det lineære forhold  
  2. en rotation omkring   


Eksempel

 

 

 

 

(Eks. 9)

Beregning af et fikspunkt  

For den komplekse lineære funktion på figuren er   og  . Heraf følger, at

     
   
   
   

Kompleks eksponentialfunktionRediger

Den reelle eksponentialfunktion   er defineret ved, at dens differentialkvotient er lig funktionen selv, altså

 

Som konsekvens heraf er

 

Desuden opfylder   funktionalligningen

 

Eksponentialfunktionen med imaginært argumentRediger

Med baggrund i ovenstående resultat indfører man følgende definition:

  Definition:

 Eksponentialfunktionen med et imaginært argument defineres ved forskriften
  

At denne definition er fornuftig bestyrkes af nedenstående egenskaber:

        Ifølge definitionen
       
        Ifølge parentesregneregler
        Ifølge additionsformler for   og  
        Ifølge definitionen

Eksponentialfunktionens funktionalligning,  , er dermed også opfyldt for imaginære argumenter.

De elementære funktioner  ,   og   har følgende rækkeudviklinger gældende for alle  

 
 
 

Hvis vi ønsker at kunne benytte disse også for komplekse tal, må der (da  !) gælde at

     
     
     
     

i overensstemmelse med ovenstående resultat.

Eksponentialfunktionen med komplekst argumentRediger

Vi ønsker, at funktionalligningen gældende for reel   skal gælde generelt:

 ,

hvilket fører til følgende definition af   for et vilkårligt komplekst tal  :

  Definition:

  Eksponentialfunktionen med et komplekst argument defineres ved forskriften
   

I nogle fremstillinger af de komplkse tal[2] vælger man i stedet at definere   som den ovenfor viste uendelige sum, altså

 

Men det kræver et større forarbejde at vise, at denne sum er veldefineret, dvs. at den konvergerer for alle  .

Egenskaber for expRediger

Funktionalligningen for eksponentialfunktionen   kendt fra de reelle tal  , forbliver gyldig ved udvidelsen til de komplekse tal  , dvs. der gælder

  for alle  

Af definitionen fremgår også, at

  for alle  

Udregningen

     
     
     

viser, at