Ved et komplekst tal[1][2][3][4] forstås en størrelse , som er en sum af to komponenter, ét reelt tal (realdelen) og et andet reelt tal (imaginærdelen) ganget med den imaginære enhedsstørrelse . Et komplekst tal kan derfor repræsenteres ved to reelle tal, og illustreres som et punkt i et koordinatsystem kaldet et Argand-diagram med en reel og en imaginær akse.
Et komplekst tal kan illustreres med et punkt (sort prik) i et talplan, hvor realdelen afsættes ud af førsteaksen (Re) og imaginærdelen afsættes op ad andenaksen (Im). Beliggenheden af de tre komplekse tal , og er angivet med farvede prikker.
Et komplekst tal skrives på formen
hvor og som angivet er vilkårlige reelle tal og hvor er en særligt konstrueret størrelse med egenskaben
Da det for ethvert reelt tal gælder, at , kan ikke være et reelt tal; størrelsen kaldes den imaginære enhed. Populært omtales også som "kvadratroden af -1", og det er netop en af de kendetegnende egenskaber ved komplekse tal, at et komplekst tal opløftet i 2. potens kan blive et negativt tal (modsat de reelle tal hvor selv et negativt tal i 2. potens altid er et positivt resultat).
Nedenstående figurer illustrerer løst forskellen på reelle og komplekse tal.
Øverste panel: Den reelle, éndimensionale talakse. Punkter med heltallige koordinater er markeret med prikker. Specielt er de reelle tal 0 og 1 angivet med grøn og rød farve. Ved addition parallelforskydes talaksen, på figuren adderes tallet -2.3 (eller 2.3 trækkes fra). Nederste panel: Ved multiplikation strækkes eller sammentrækkes talaksen, på figuren multipliceres med tallet 1.6.
De reelle tal er en éndimensional talmængde og kan derfor opfattes som punkter på en tallinie. Addition svarer til en parallelforskydning langs linjen og multiplikation svarer til en strækning af linjen.
Øverste panel: Det komplekse, todimensionale talplan. Punkter med heltallige koordinater er markeret med et net af prikker. Specielt er de komplekse tal 0, 1 og angivet med grøn, rød og blå farve. Ved addition parallelforskydes priknettet både i førsteaksens og andenaksens retning. På figuren adderes tallet . Nederste panel: Ved multiplikation sker der både en strækning og en rotation af planet. På figuren mulipliceres priknettets punkter med tallet , der dels strækker planet med faktoren 1.6, dels drejer det vinklen 60°.
De komplekse tal er en todimensional talmængde og kan derfor opfattes som punkter i et talplan. Addition svarer til en parallelforskydning af planets punkter, mens multiplikation svarer til en strækning i kombination med en rotation af planets punkter.
[[File:|Mængden af komplekse tal betegnes med bogstavet C med dobbeltstreg.px|class=noviewer|]]
I matematisk litteratur optræder både rækkefølgerne [1] og [3] eller der veksles frit mellem dem[2][4][5]. For at fremhæve den imaginære enhed , anbefales det, at symbolet skrives uden kursivering[6].
Inden for vekselstrøm og elektroteknik benyttes et kursiveret lille til at betegne tidsvariable strømstyrker. Man vil her oftest støde på betegnelsen for den imaginære enhed, selv om forvekslingsmuligheder næppe forekommer.
Her benyttes notationen .
Inden for de reelle tal er der tradition for at betegne variable med bogstaverne og ; inden for de komplekse tal anvendes traditionelt variabelnavne som og .
De to dele af det komplekse tal kaldes realdelen og imaginærdelen:
Realdelen af :
Imaginærdelen af :
Bemærk, at realdelen og imaginærdelen er reelle tal.
Fremstilling af et komplekst tal på formen er entydig. Antag nemlig, at der foreligger to fremstillinger:
og
Man kan da omskrive således:
hvoraf
Antag at . Ved division fås da, at
Brøken på venstre side er et reelt tal, medens højre side er imaginær. Antagelsen fører altså til en modstrid og må derfor forkastes, dvs. . Videre følger, at , så også . De to fremstillinger er altså ens.
De komplekse tal kan konstrueres med udgangspunkt i polynomier af grad 1 med koefficienter i ([x]) Altså polynomier på formen [7]s. 253
Alle komplekse tal er på samme form, hvor "x" bliver kaldt "i"
Når man ganger polynomier af anden grad kan man dog få polynomier af højere grad, for eksempel
Som en del af konstruktionen, definere vi x^2 til -1. For eksempel bliver udtrykket ovenfor til
Derved kan all polynomier bringes ned til grad 1 og derved den karakteristiske form af komplekse tal
Da komplekse tal også er polynomier (altså er i [x]), gælder alle de samme regler. Vi kan derfor lægge dem sammen, trække dem fra hindanen og gange, helt på samme måde som [x]. Man normalt ikke dividere i [x], dog kan man alligevel dividere komplekse tal, som det næste viser
Hvis vi ønsker at dividere a med b, ganger vi så bare det reciprokke element af b med a
factor ring konstruktion
Den samme konstruktion af komplekse tal kan udtrykkes mere kompakt, ved brug af hi-tech sprog af abstract algebra. De komplekse tal er isomorphic til R[x]/<x^2 + 1>. Denne konstruktion er helt tilsvarende til den allerede givet. [7]Ch 12, 13 og 14
R[x] er et integral domain da R også er. x^2 + 1 er i denne ring og <x^2 + 1> er dens principal ideal. Dette er også er maksimal ideal. Så dens factor ring er et field. Denne ring er så isomorphic til de komplekse tal. For eksempel
Vi betragter nu specielt den delmængde af de komplekse tal, hvis imaginærdel er nul. R er lukket indlejret mængde af R[x], derfor må R også være en lukket indlejring mængde af C. Dette betyder at R er lukket under multiplikation og addition, altså at man ikke man konstruere C fra R kun ved brug af disse operationer. På denne baggrund tillader man sig at identificere det komplekse tal med det reelle tal .
C kan også ses som et vector space over R. Et set basis vectors er så givet ved {1, i}. Ser man bort fra multiplikation af komplekse tal, er de komplekse tal identiske med . For eksempel kan et udtryk i C [7]s. 330
Udtrykes som et i
Kartesisk og polær beskrivelse af komplekse talRediger
Figuren viser et komplekst tal og dets konjugerede ; de to ligger symmetrisk omkring den reelle talakse. Desuden illustreres, at multiplikation med svarer til en drejning på og at multiplikation med (eller division med !) svarer til en drejning på .
Et komplekst tal kan naturligt illustreres med et punkt med koordinaterne i et koordinatsystem med den reelle akse som ordinat og den imaginære akse som abscisse. Dette talplan kaldes det komplekse eller det gaussiske plan eller argand-planet. Om baggrunden for disse betegnelser se det historiske afsnit.
Nogle geometriske fortolkninger:
Da , svarer kompleks konjugering, jfr. ligning (5), til spejling om den reelle akse.
Da addition sker efter samme regel som for vektorer, kan en sum konstrueres som et paralellogram.
Multiplikation med sker ved drejning på , division ved drejning på .
Da , fås realdelen ved projektion af på den reelle akse.
Da , fås imaginærdelen ved projektion af på den imaginære akse.
Endvidere ses det, at real- og imaginærdel kan udtrykkes ved og :
Et komplekst tal kan fastlægges både ved sine kartesiske koordinater (som ) og ved sine polære koordinater (som )). Figuren viser modulus og argument for dels det komplekse tal , dels det konjugerede tal og dels for (med polære koordinater . Argumentet kan vælges at ligge i vinkelintervallet (brugt ved ) eller i intervallet (brugt ved ).
Et komplekst tal , som ikke er lig nul, kan ved siden af sine kartesiske koordinater også beskrives ved sine polære koordinater . Her betegner punktets afstand fra origo og er den vinkel, som liniestykket danner med den reelle akse, se figuren.
Den polære koordinat kaldes det komplekse tals modulus eller numeriske værdi eller norm og skrives
Den polære koordinat kaldes det komplekse tals argument og skrives
Her er den arcustangens-funktion, som beregner den vinkel, som en linje fra origo til punktet med koordinaterne danner med førsteaksen.
Det komplekse tal har modulus , men tillægges ikke noget argument.
Argumentet for et komplekst tal er en flertydig størrelse: Hvis er argument for , så kan også ethvert af tallene bruges som argument, fordi addition af et multiplum af ( eller i gradmål) udpeger den samme retning. Man vælger ofte at lade ligge i det halvåbne interval ( eller i gradmål ).
Eksempler
(Eks. 3)
Multiplikation og division af to komplekse tal på polær formRediger
De kartesiske koordinater for et komplekst tal med modulus og argument fås ved projektion på den reelle hhv. imaginære akse:
Tallet kan derfor skrives
.
Heraf finder vi, at produktet af to komplekse tal
bliver
hvor vi i den sidste omskrivning har anvendt to af de trigonometriske additionsformler. Man kan heraf konkludere, at
Hvis man i formlen for produktet af og sætter , får man
og for produktet af og fås
hvilket straks kan generaliseres til
Dette er de Moivres formel (udtales "dø mo-A-vre"). I udfoldet form lyder den
(10)
Illustration af heltalspotenser af et komplekst tal , altså , , ... , ... Med grå farve vises potenser af , hvor og og hvor potensen varierer fra til . Potenserne ligger alle på enhedscirklen. Med cyan farve vises potenser af , hvor og og hvor potensen varierer fra til . Potenserne ligger alle på en indadsnoet logaritmisk spiral. Med lysegrøn farve vises potenser af , hvor og og hvor potensen varierer fra til . Potenserne ligger alle på en udadsnoet logaritmisk spiral.
eller med anvendelse af -funktionen, jfr. definitionen (9)
Opløftning af et komplekst tal til -te potens kan altså udføres ved at opløfte dets modulus i -te potens og gange dets argument med . Figuren viser nogle eksempler på mulige resultater.
Fordelen ved de Moivres formel for er, at man kan beregne resultatet uden først at skulle finde værdien af mellemliggende potenser , , ... . Ulempen er, at man skal benytte beregningstunge trigonometriske funktioner i beregningen af samt i bestemmelse af real- og imaginærdel.
Eksempler
(Eks. 4)
For det komplekse tal er
Potenser af beregnet kartesisk og polært (med de Moivres formel) vises i tabellen herunder; resultaterne stemmer naturligvis overens.
Alle løsninger ligger altså på enhedscirklen, så kan skrives , hvor er løsningens argument. Vi anvender nu de Moivres formel (10):
Løsningerne er altså de komplekse tal
(11)
Disse ligger jævnt fordelt på enhedscirklen med et indbyrdes vinkelmellemrum på og udspænder en regulær -kant med et hjørne i (1,0). De kaldes for de n-te enhedsrødder. [1]:55[3]:30
Roden med betegnes normalt , de øvrige er potenser af denne. Enhedsrødderne kan derfor også opremses som
.
Figuren i det følgende afsnit illustrerer desuden enhedsrøddernes beliggenhed i tilfælde , hvor
Illustration af løsninger til komplekse ligninger af typen . Grøn farve: Enhedscirklen. Rød farve: Løsninger til ligningen (enhedsrødderne af grad 5). Blå farve: Løsninger til ligningen . Løsningspunkterne danner i begge tilfælde en regulær femkant.
Lad være et givet komplekst tal med modulus og argument . Vi søger alle løsninger til ligningen
Dertil skriver vi også på polær form, og anvender igen de Moivres formel (10):
Denne ligning er opfyldt, hvis
og eller
Ligningens løsninger er derfor
(12)
Eksempel
(Eks. 5)
Hvilke komplekse løsninger har ligningen ?
For denne ligning er og , så
Ved udregning fås værdierne
I det komplekse plan danner de til hørende punkter en regulær femkant, se figuren.
Vi sætter og , hvor og er kendte reelle tal. Opgaven er da, at finde og .
Man må opdele i forskellige tilfælde:
og har samme fortegn, dvs. :
og har modsat fortegn, dvs. :
.
Så må og dvs.
Så må og dvs.
Da , må også , så vi kan isolere i den anden ligning, , og indsætte dette i den første:
.
Denne fjerdegradsligningen er en iklædt andengradsligning med som ubekendt. Ligningens diskriminant er
.
Ifølge det forudsatte er , så løsningerne er
.
Da , bliver højresiden negativ, hvis fortegnet benyttes. Der er derfor kun én løsning for og af den følger :
og selv kan være positive eller negative, men ligningen viser, at deres produkt skal have samme fortegn som . Fortegnet af et reelt tal er giver ved signum-funktionen, der defineres ved
Signum-funktionen er implementeret i de fleste programmerinssprog; i dansk Excel er den fordansket til "FORTEGN".
Vi kan nu opskrive ligningens løsning:
skal have samme fortegn som , dvs.
skal have modsat fortegn af , dvs.
Konklusion:
Da de tre første specialtilfælde også dækkes ind af den generelle formel, er løsningerne i alle situationer givet ved
Her kan man benytte resultatet fra afsnittet, der behandlede ligningen :
eller, da addition af betyder en drejning af løsningen på og dermed et fortegnsskift,
Denne metode giver løsningen ved færre regninger, men har den ulempe, at man skal bruge trigonometriske funktioner både ved bestemmelsen af argumentet og ved brugen af .
Eksempel
(Eks. 7)
Vi betragter igen ligningen
for hvilken og .
Løsningerne bliver derfor
altså (naturligvis) samme resultat som ved regningen med kartesiske koordinater. Dog spiller afrundingsfejl en større rolle ved denne metode.
For et vilkårligt ikke-negativt reelt tal, , kan man definere tallets kvadratrod, , som det tal, der ganget med sig selv giver :
Som angivet med eksistens-kvantoren er kvadratroden entydigt bestemt. Negative tal har ingen reel kvadratrod.
For de komplekse tal stiller sagen sig anderledes. Som vist i et tidligere afsnit, har alle komplekse tal, bortset fra , to forskellige (og modsatte) komplekse kvadratrødder. I eksempel 6 blev det vist, at
.
Dette kunne også skrives
,
hvor kvadratrodssymbolet nu bruges til at angive en flertydig størrelse. Men hvis denne notation anvendes på reelle tal, opstår der uheldige skrivemåder som [3]
eller endog
I denne ligning indeholder venstre side et komplekst, flertydigt kvadratrodssymbol, medens højre side benytter et reelt, entydigt kvadratrodssymbol.
Det er derfor uhensigtsmæssigt at benytte rodsymboler i forbindelse med komplekse tal.
kan omskrives med nøjagtig den samme fremgangsmåde, som i det reelle tilfælde til
hvor som i det reelle tilfælde kaldes andengradsligningens diskriminant.
Lad nu betegne den ene af de to løsninger til ligningen . Som vist i forrige afsnit er den anden løsning det modsatte tal, . Andengradsligningen har da de to løsninger
(14)
Bemærkning
Som vist kan rødder i andengradspolynomier udtrykkes ved hjælp af kvadratrødder. Det viser sig, at bestemmelse af rødder i tredje- og fjerdegradspolynomier også kan udtrykkes ved hjælp af rodsymboler. Men for ligninger af grad 5 eller højere er dette ikke generelt muligt. Dette blev første gang bevist af den norske matematiker Niels Henrik Abel.
Eksempel
(Eks. 8)
Lad os løse den komplekse andengradsligning
.
Vi identificerer
,
,
,
og beregner ligningens diskriminant til
Løsningerne til ligningen blev fundet i eksempel 7 og en af dem er
Reelle funktioner kan beskrives med en funktionsforskrift og illustreres grafisk i et koordinatsystem, hvor -aksen indeholder definitionsmængden og -aksen bruges til billedmængden. Det samme kan ikke gøres med funktioner med komplekse variable, , for et komplekst tal optager jo allerede to dimensioner. I stedet kan en kompleks funktion illustreres med to koordinatsystemer, et -system til definitionsmængden og et -system til billedmængden.
Konjugering blev defineret i afsnittet om elementære regneregler. Ved udregning konstaterer man, at der gælder følgende regler for kompleks konjugering:
(Hvis , bliver en konstant funktion, der afbilder alle punkter i den komplekse plan i det komplekse tal ).
Specielt er
.
Illustration af den komplekse lineære funktion , hvor og . Et net af enhedskvadrater i -planet afbildes ved i et andet kvadratisk net i -planet. De tre komplekse tal , og samt afbildningens fikspunkt er i -planet markeret med farvede prikker hhv. et sort kryds. Deres billeder i -planet har de samme signaturer. Fikspunktet er defineret ved, at , så det bliver som det eneste på sit oprindelige sted.
Dette illustreres på figuren med funktionen , der også viser, hvordan et kvadratisk net i -planet afbildes i et strakt, roteret og forskudt kvadratisk net i -planet. Matematisk set er der tale om en ligedannethed.
Vi betragter først to specialtilfælde:
: Så er , dvs. funktionen foretager en parallelforskydning med .
: Så er . For kortheds skyld kalder vi funktionsværdien for , .
Vi har da
: Multiplikation ud fra (0, 0) med .
: Rotation omkring (0,0) med .
Herefter ser vi på det generelle tilfælde, hvor :
Funktionen har da netop et fikspunkt defineret ved, at :
.
Betegner vi som ovenfor funktionsværdien med , kan vi omskrive således:
Heraf fremgår, at strækker og roterer som omtalt ovenover, men gør det centreret på fikspunktet
. Det orange kvadrat, som vises i -planen på figuren, afbildes ved i det orange kvadrat i -planet. Det sker ved
en strækning ud fra med det lineære forhold
en rotation omkring på
Eksempel
(Eks. 9)
Beregning af et fikspunkt
For den komplekse lineære funktion på figuren er og . Heraf følger, at