Bruger:Burningbrand/sandkasse

Moderne formulering af ZFC redigér

Der er mange ækvivalente formuleringer af ZFC aksiomerne. Det betyder essentiel at de kan afledes af hinanden. Antallet af aksiomer varierer idet der ofte af forskellige grunde listes aksiomer der kan afledes af hinanden. Her er brugt 9 aksiomer inklusivt udvalgsaksiomet ^[1] , ^[2] ^[3]. Udvalgsaksiomet bruges i standard matematik fx for at bevise at alle vektorrum har en mængde af basisvektorer.

ZFC Aksiomerne er fundamentet for de fleste matematiske teoremer, dog skal det bemærkes at aksiomerne fremkom som de aksiomer som tillod at bevise de teoremer man mente var rigtige og ikke omvendt.

Aksiomerne bruges til at bevise udsagn om mængder ved en veldefinered proces, en beviskæde med et endelig antal skridt, som udgør et bevis: Dette gøres udelukkende ved anvendelse af tre forskellige metoder i beviskæden: For hvert trin i beviskæden 1) at referere hvilket aksiom der anvendes eller 2) anvende en tautologi (som er sande i sig selv ) eller 3) modus ponens ( samtidig anvendelse af to tidligere beviste udtryk i beviskæden ). Dette gør det muligt og helt klart at der er tale om et bevis.

En målsætning når man skal skabe fundamentale aksiomer er at der skal være så få forudfattede begreber i aksiomerne som muligt for at forhindre at disse senere findes ikke at være korrekte, hvilket er sket flere gange i matematikkens historie. Hvordan dette kan gøres illustreres nedenfor.

Mængdelære bygger på postulatet at der er en fundamental binær relation $\epsilon$ , den eneste definition af $\epsilon$ og mængde findes i de 9 aksiomerne som handler om dem, der er i den forstand ingen formel definition.

Ud over dette benyttes nogle logiske operatorer, som antages kendte (fra logikken). fx

$\neg$ betyder logisk Not.

$\forall a$ betyder for alle a (det er en kvantor)

$\exists a$ betyder der eksisterer et a (det er en Kvantor)

$\exists !y$ betyder der eksisterer en unik y

$\not \exists y$ betyder der eksisterer intet y

$\vee$ betyder logisk OR

$\wedge$ betyder logisk AND

Udtale og form:

$A\epsilon B$ ( siges A element (i) B eller A i B ...)

$A\epsilon B:=\epsilon (A,B)$ er et prædikat med to variable, symbolet placeres normalt mellem de to variable.

Vi kan definere

x er ikke element i y: $x\notin y:\Leftrightarrow \neg (x\in y)$

x er delmængde : $x\subseteq y:\Leftrightarrow \forall a:(a\in x\Rightarrow a\in y)$

Lighed: $x=y:\Leftrightarrow \forall x\forall y:x\subseteq y\wedge y\subseteq x$ ;

De to første aksiomer er eksistens aksiomer.

1. Aksiom:

$x\in y$ er et udsagn (dvs. er enten sand eller falsk) hvis og kun hvis x og y er mængder. Dvs at hvis x eller/og y ikke er en mængde(r) så er $x\in y$ ikke et udsagn.

( I naiv mængde teori (som læres i skolen) kan x være andet end en mængde, derved kan paradoxer blive et problem)

2. Aksiom:

Eksistens af den tomme mængde: $\exists x:\forall y:y\notin x$

( der er kun én tom mængde betegnet $\varnothing$ )

3.Aksiom:

Paraksiomet:

Lad x og y være mængder, der eksisterer en mængde der som elementer indeholder x og y: $\forall x:\forall y:\exists m:\forall u:(u\in m\Leftrightarrow u=x\vee u=y)$

( bemærkning: Der anvendes en notation m = { x,y} for mængde, rækkefølgen af x og y har ingen betydning {x,y} = {y,x}, hvis x=y får man m={x} eller m={y} da identiske elementer ikke tæller mere end en gang )

4.Aksiom

Foreningsmængde :

Lad x være en mængde. Så findes der en mængde hvis elementer netop er elementer af elementerne af x (kaldes foreningsmængde )

Notation: $u=\cup x$

Eksempel: Lad a,b være mængder , {a} er en mængde (ifølge aksiomet om par) og { b} er en mængde og x={{a},{b}} er en mængde.

$\cup x=\{a,b\}$ Ligeledes x = {{a},{b,c}} giver $\cup x=\{a,b,c\}$

5. Aksiom:

Aksiom om udskiftning (Skema):

Lad R være en funktional relation: $\forall x\in m\exists !y:R(x,y)$ .

(En mange-til-en relation mellem to sæt attributter indenfor en given relation.)

Værdimængden af en mængde m under en funktionel relation R består af alle de y for hvilke der er et $x\in m$ således at R(x,y).

Princippet om begrænset mængde bygning (også kaldet delmængdeaksiomet) følger af dette aksiom (5):

Lad $P$ være et prædikat i en variabel og lad m være en mængde. De elementer $y\in m$ , for hvilke $P(y)$ er sand, er en mængde. $\{y\in m|P(y)\}$

Dette kaldes et skema, fordi det egentlig ikke er et enkelt aksiom, der er et aksiom for hvert prædikat.

I naiv mængdeteori behøver y ikke at være begrænset (universel mængdebygning), hvilket leder til paradokser.

6. Aksiom:

Potensmængde aksiomet:

Hvis m er en mængde så er potensmængden P(m) mængden af alle submængder af m. $\forall m\exists y\forall z:(z\subseteq m\Rightarrow z\in y)$

fx: $m=\{a,b\}$ $P(m)=\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$

7. Aksiom:

Uendelighedsaksiomet

Der eksisterer en mængde som indeholder den tomme mængde og med ethvert af dens elementer y også indeholde $\{y\}$ som et element. fx: $m=\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\{\varnothing \}\},\{\{\{\varnothing \}\}\}\cdots \}$ de trivelle navne for disse mængder er 0,1,2,3,...

altså er $\mathbb {N}$ en mængde og $\mathbb {R} =P(\mathbb {N} )$

8. Aksiom:

Udvalgsaksiomet.

Lad x være en mængde hvis elementer ikke er tomme og gensidigt disjoint. Der eksisterer så en mængde y som indeholder nøjagtigt et element fra hvert element af x.

Eventuelt: Der eksisterer så en funktion f fra x til foreningsmængden af elementerne af x kaldet en valg funktion, således at for all $y\in x$ har man $f(y)\in y$ .