DanielSofie

Lemma 1

Cauchy-følgen {$x_{n}$} har en delfølge {$x_{n}k$} som konvergerer mod x, ergo konvergerer {$x_{n}$} også mod x.

Bevis

Lad delfølgen {$x_{n}k$} konvergere mod x. Følgen {$x_{n}$} som{$x_{n}k$} er delfølge af, konvergerer mod x, derfor er det givet at uanset hvilket $\epsilon$ > 0, findes et N $\in$ $\mathbb {N}$ således, at $|x-x_{n}|$ < $\epsilon$ $\forall$ n $\geq$ N.

På ovenstående skitse ses en Cauchy-følge med en delfølge (de sorte prikker), som konvergerer mod x. På skitsen står $\epsilon$/2 i stedet for $\epsilon$, da dette får betydning senere i beviset. Vi kalder det stykke indenfor $\epsilon$ for pølsen.

Eftersom {$x_{n}k$} konvergerer mod x, så findes der et K, således at $|x-x_{n}k|$ < $\epsilon$/2 $\forall$ k $\geq$ K.

Dette er stedet, hvor delfølgen kommer indenfor pølsen.

Eftersom {$x_{n}$} er en Cauchy-følge, findes der desuden et $M$ således at $|x_{n}-x_{m}|$ < $\epsilon$/2 $\forall$ n,m $\geq$ M.

Dette er stedet, hvor afstanden mellem de enkelte punkter er mindre end $\epsilon$/2. Følgende er en skitse af dette.

Det største af K og M kaldes N. Altså når de begge er opfyldt.

Idet n $\geq$ N,og $|x-x_{n}|$ < $\epsilon$. Vi skal vælge et k, der er så stort, at $n_{k}$ $\geq$ N.

Fra ovenstående fås følgende

$|x-x_{n}|$ = |$x-x_{n}k+x_{n}k-x_{n}$|

Ifølge trekantsuligheden, som siger, at |c+d|$\leq$ |c|+|d|, er dette

$|x-x_{n}|$ $\leq$ $|x-x_{n}k|$ + $|x_{n}k-x_{n}|$ < $\epsilon$/2 + $\epsilon$/2 = $\epsilon$, idet |$x-x_{n}k$| < $\epsilon$/2, hvilket var kravet til k og |$x_{n}k-x_{n}$| < $\epsilon$/2, hvilket var kravet til m.

Det ses, at $|x-x_{n}k|$ er mindre end $\epsilon$/2, netop fordi k$\geq$ K og at $|x-x_{n}|$ er mindre end $\epsilon$/2, da m$\geq$ M.

Herudfra kan konkluderes, at følgen konvergerer mod x

dvs. |$x-x_{n}$| < $\epsilon$

$\blacksquare$