Martin Nørgaard Andersen
Medlem siden 12. februar 2008
Dette er en anvisning på hvordan det er muligt at løse alle tredjegradsligninger.
y^3 + p^2 + qy + R = 0 kan reduseret til x^3 + ax^2 + b = 0 ved at sætte :
a = (1/3) (3q - p^2)
b = (1/27)(2p^3 - 9pq + 27R)
y = x - (p/3)
x^3 + ax + b = 0
Fra trigonometrien har vi:
4cos^3(v) - 3 cos(v) - cos(3v) = 0
4sin^3(v) - 3 sin(v) + sin(3v) = 0
Og fra de tilsvarende hyperbolske funktioner haves :
4cosh^3(v) - 3cosh(v) - cosh(3v) = 0
4sinh^3(v) + 3sinh(v) - sinh(3v) = 0
Lad x være mcos(v) da får vi:
x^3 + ax + b = 0 m^3*cos^3(v) + am*cos(v) + b = 0 4*cos^3(v) -3*cos(v) - cos(3v) = 0
(m^3)/4 = -(am)/3 = - b/cos(3v)
m^2/4 = -(1/3)a
1) m = 2(-a/3)^(1/2)
cos(3v) = (3b)/(am)
v = (1/3)arccos(3b)/(am)
x1 = mcos(v)
Dette var når vi bruger og opgaven egnet for cosinus løsning.
Påsamme måde fås:
2) m = 2(-a/3)^(1/2)
sin(3v) = - 3b/am)
v = (1/3)arcsin(-3b/am)
x1 = msinv
Når den er egnet for sinus løsning, til tider kan både sinus og cosinus anvendes. det kan de begge når a er negativ og samtidig 3b/am er 1 eller mindre.
3) m = 2(-a/3)^(1/2)
cosh(3v) = 3b/am v = (1/3)arccosh(3b/am)
x1 = m*cosh(v)
Dette udtryk kan anvendes når 3b/am er større end 1
4) m = 2(a/3)^(1/2)
sinh(3v) = - (3b/am)
v = (1/3)arcsinh(-3b/am)
x1 = m*sinhv
Dette udtryk kan bruges når a er positiv