Euler-Lagrange-ligning

En Euler-Lagrange-ligning er en partiel differentialligning, for hvilken det gælder, at løsningen er en mængde af funktioner, som opfylder at den første afledte for en given funktional (se funktional-afledte) er lig nul. Euler-Lagrange-ligningen optræder bl.a. inden for analytisk mekanik som betingelsen for stationering af virkningsfunktionalen for et givent mekanisk system.

Som illustreret er der et vejintegrale for enhver vej. Med Euler-Lagrange-ligningen kan vejen, der minimerer integralet, findes.

LigningenRediger

Givet et funktional på formen

 

da er den første funktional-afledte mht.  ved   givet ved:

 

  er stationær, når den funktional-afledte er lig nul, hvorved Euler-Lagrange-ligningerne fås:

 

Hvis   ikke eksplicit afhænger af  , reduceres ligningen til Beltrami-identiteten:

 

hvor   er konstant.[1]

UdledningRediger

Et funktional på formen

 

skal stationeres:

 

Variationen i   kan skrives ved variationerne i   og  :

 

 

 

 

 

(1)

hvor

 

Det kræves desuden, at variationen i hver ende er nul:

 

 

 

 

 

(2)

Pga. produktreglen gælder:

 

Og dermed:

 

Dette indsættes i lign. 1, og integralet splittes op:

 

Pga. lign. 2 gælder:

 

Derfor:

 

Integralet består nu af to faktorer. Siden integralet altid skal være nul, og det skal gælde for alle variationer af  , må den første faktor være nul:

 

 

 

 

 

(3)

Dermed er Euler-Lagrange-ligningen udledt.[2]

Endimensionelt eksempelRediger

Et bestemt mekanisk system beskrevet ved én koordinat   og med potentialet   har Lagrangefunktionen:

 

Dvs. at den kinetiske energi er givet som for en klassisk punktmasse med massen   og hastigheden:

 ,

mens den potentielle energi afhænger af positionen (den potentielle energi ville fx i et homogent tyngdefelt være givet på formen:

 

Systemet vil udvikle sig således at virkningen   stationeres,[3]

 

Systemets dynamik er derfor beskrevet ved Euler-Lagrange-ligningen:

 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

 

 

 

(4)

Eftersom den dobbelte tidsafledte mht. positionen er accelerationen og den positionsafledte mht. det negative potentiale svarer til kraftkomposanten i  -retningen, svarer 4 til Newtons anden lov.

 

KildehenvisningerRediger

  1. ^ Weisstein, Eric W., Beltrami Identity, Wolfram Alpha, arkiveret fra originalen 12. juli 2019, hentet 12. juli 2019. 
  2. ^ Weisstein, Eric W., Euler-Lagrange Differential Equation, Wolfram Alpha, arkiveret fra originalen 26. maj 2019, hentet 19. juli 2019. 
  3. ^ Goldstein, Herbert; Poole, Charles; Safko, John. "Variational Principles and Lagrange's Equations", Classical Mechanics (3. udgave), Addison Wesley, s. 34-35.