Beltrami-identiteten
Beltrami-identiteten er inden for variationsregning en forsimpling af Euler-Lagrange-ligningen.
Identiteten redigér
For et variationsproblem på formen:
hvor
er den generelle løsning en Euler-Lagrange-ligning:
Hvis ikke eksplicit afhænger af , reducerer ligningen til den simplere Beltrami-identitet:
hvor er en konstant.
Udledning redigér
At ikke eksplicit afhænger af , betyder, at den partielt afledte mht. er 0:
Den almindelige afledte
er da givet ved:
Dette kan omarrangeres:
Tilsvarende kan Euler-Lagrange-ligningen ganges med :
Udtrykket for det første led kan indsættes:
Det er det samme som:
Siden den afledte er nul, må udtrykket være lig med en konstant :
Dermed er Beltrami-identiteten udledt.[1]
Anvendelse redigér
Inden for analytisk mekanik i fysik er Lagrangen, mens konstanten er den negative Hamilton :
Den afledte Lagrange kaldes for den generaliserede impuls :
repræsenterer tiden, hvilket vil sige, at Hamiltonen for et system er bevaret, hvis Lagrangen ikke eksplicit afhænger af tiden.[2]
Kildehenvisninger redigér
- ^ Weisstein, Eric W., Beltrami Identity, Wolfram Alpha, hentet 12. juli 2019
- ^ Lars-Erik Persson, Lars-Erik. "3. The Hamiltonian" (engelsk). Luleå tekniska universitet. Arkiveret fra originalen 7. maj 2020. Hentet 8. maj 2020.