Beltrami-identiteten

Beltrami-identiteten er inden for variationsregning en forsimpling af Euler-Lagrange-ligningen.

IdentitetenRediger

For et variationsproblem på formen:

 

hvor

 

er den generelle løsning en Euler-Lagrange-ligning:

 

Hvis   ikke eksplicit afhænger af  , reducerer ligningen til den simplere Beltrami-identitet:

 

hvor   er en konstant.

UdledningRediger

At   ikke eksplicit afhænger af  , betyder, at den partielt afledte mht.   er 0:

 

Den almindelige afledte

 

er da givet ved:

 

Dette kan omarrangeres:

 

Tilsvarende kan Euler-Lagrange-ligningen ganges med  :

 

Udtrykket for det første led kan indsættes:

 

Det er det samme som:

 

Siden den afledte er nul, må udtrykket være lig med en konstant  :

 

Dermed er Beltrami-identiteten udledt.[1]

AnvendelseRediger

Inden for analytisk mekanik i fysik er   Lagrangen, mens konstanten er den negative Hamilton  :

 

Den afledte Lagrange kaldes for den generaliserede impuls  :

 

  repræsenterer tiden, hvilket vil sige, at Hamiltonen for et system er bevaret, hvis Lagrangen ikke eksplicit afhænger af tiden.[2]

KildehenvisningerRediger

  1. ^ Weisstein, Eric W., Beltrami Identity, Wolfram Alpha, hentet 12. juli 2019. 
  2. ^ Lars-Erik Persson, Lars-Erik. "3. The Hamiltonian." (engelsk). Luleå tekniska universitet. Arkiveret fra originalen 7. maj 2020. Hentet 8. maj 2020.