Gradient er et matematisk begreb, der betegner en vektor; dvs. noget der har både størrelse og retning.[1] Desuden afhænger gradienten af en funktions partielle afledte.[2] De partielle afledte er differentialkvotienter med en hensyn til hver sin funktionsvariable. Man kan kun beregne en gradient for en flervariabel funktion, altså en funktion af flere variable.[3]

Det nedenstående gælder for gradienten for en funktion af de to variable, og .

NotationRediger

Udgangspunktet er en funktion af de to variable   og   sådan:  

For at beregne funktionens gradient beregner man først de to partielle afledte:[4]

 

og

 

For at skabe en vektor multiplicerer man hver afledte med den tilsvarende enhedsvektor.[5] En to-dimensionel vektor kan deles op i en  - og en  -komposant, der hver består af en enhedsvektor (  og  ) multipliceret med længden, som har her sættes til at være den afledtes værdier. Summen af de to komposanter giver gradienten  :

 


Symbolet   kaldes nabla.[6]

Man siger også, at man anvender vektordifferentialoperatoren nabla på funktionen. Denne operator er givet ved:

 


Ved at skrive de to afledede under hinanden (som er det typiske for en vektor), så bliver gradienten:


 


Gradienten er en kombination af de partielle afledte. De partielle afledte er en funktions hældning målt langs forskellige koordinatakser. Så gradienten er en kombination af disse hældninger.

Når gradienten er nul-vektorenRediger

Gradienten kan tolkes sådan:

For en funktion af to variable   peger gradienten, der er en vektor i et punkt på grafen for  , i den retning, som funktionen vokser mest.[7]

Af ovenstående definition af   fås punktet  

     


Man viser, at gradienten er nul-vektoren

 

Et punkt   til hvilket gradienten er nul-vektoren,[8] er et stationært punkt.[9]


Art af stationære punkter

Et stationært punkt kan testes.[10] Testen kan fastslå, om det stationære punkt er enten

et (lokalt) maksimum

et (lokalt) minimum

et saddelpunkt

eller ingen af de tre nævnte typer.[11]


For at kunne starte den test er det nødvendigt først at gennemføre disse beregninger:[12]

  = den dobbelte afledede med hensyn til  

  = den dobbelte blandende afledede[13]

  = den dobbelte afledede med hensyn til  


Herefter beregner man:

 


Så bliver testens konklusion:[14]

for både   og     så har   et (lokalt) minimum i er det stationære punkt  

for     og     så har   et (lokalt) maksimum i er det stationære punkt  

for     så har   et saddelpunkt i er det stationære punkt  

for     så er det stationære punkt   hverken et (lokalt) minimum eller (lokalt) maksimum og heller ikke et saddelpunkt.[11]

Videre læsningRediger

ReferencerRediger

  1. ^ https://emu.dk//sites/default/files/2019-02/Formelsamling-Matematik-A---stx-2018%20(4).pdf
  2. ^ https://imada.sdu.dk/~jessica/MM501-s41.pdf
  3. ^ https://science-gym.dk/mat/20002010/funk2var.pdf
  4. ^ https://denstoredanske.lex.dk/gradient
  5. ^ http://web.math.ku.dk/noter/filer/matintro-kro-12.pdf
  6. ^ https://denstoredanske.lex.dk/nabla
  7. ^ https://science-gym.dk/mat/20002010/funk2var.pdf
  8. ^ https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-a/funktioner-af-to-variable/stationaere-punkter
  9. ^ https://www.mathematicus.dk/matematik/kernestof/Funktioner_af_to_variable.pdf
  10. ^ https://denstoredanske.lex.dk/station%C3%A6rt_punkt
  11. ^ a b https://lru.praxis.dk/Lru/microsites/hvadermatematik/hem3download/kap5_QR18_Arten_af_stationaere_punkter_Bevis_for_saetning_11.pdf
  12. ^ https://www.lmfk.dk/artikler/data/artikler/2002/2002_22.pdf
  13. ^ http://www.harremoes.dk/BrockA/2019-vejlSaet1/ForbMateriale.pdf
  14. ^ http://www.hax.dk/pdf/Stationaere.pdf


 Spire
Denne artikel om matematik er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den.