Nabla-operatoren

Scientist.svgSvært stof
Denne artikel omhandler svært stof. Der er endnu ikke taget hensyn til ikke-eksperter. Du kan hjælpe ved at skrive en letforståelig indledning.

Nabla-operatoren er i matematikkens verden en differentialoperator indenfor matematisk analyse med vektorer, repræsenteret ved symbolet nabla (∇).

Under normale omstændigheder kan man vælge at betragte Nabla-operatoren som en vektor, om end det er en noget speciel vektor.

I det tredimensionelle rum, , vil ∇ for et retvinklet koordinatsystem se således ud (i kartesiske koordinater):

Brug af NablaRediger

Denne operator bruges i flere forskellige sammenhænge:

GradientRediger

Den første type af brug er i forbindelse med bestemmelse af gradienten, der til en vis grad kan sammenlignes med differentialkvotienten af en funktion. Denne type beregning bruges ved funktioner af flere variable:

 

DivergensRediger

Divergensen af et vektorfelt   inkluderer også Nabla-operatoren, men ved denne type beregning bruges den som et skalarprodukt.

 

RotationRediger

Rotationen af et vektorfelt   findes ved krydsproduktet mellem et vektorfelt og Nabla, og har således en vektor som resultat.

 

Laplace-operatorenRediger

Der findes endvidere en anden type af operator, kaldet Laplace operatoren der betegner hvad man kunne kalde den anden afledede. Denne noteres på følgende måder:

 

DefinitionerRediger

Bevis:

For afbildningen  

Lad da  

Da er  

Jævnfør at differentiationsrækkefølgen er ligegyldig ved mere end to afledninger.

  • Et rotationsfelt er divergensfrit

Bevis:

Givet et vektorfelt  

Da vil:  

Og dermed:  

 Stub
Denne artikel om matematik er kun påbegyndt. Hvis du ved mere om emnet, kan du hjælpe Wikipedia ved at udvide den.