Nabla-operatoren er i matematikkens verden en differentialoperator indenfor matematisk analyse med vektorer , repræsenteret ved symbolet nabla (∇).
Under normale omstændigheder kan man vælge at betragte Nabla-operatoren som en vektor, om end det er en noget speciel vektor.
I det tredimensionelle rum,
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
∇
=
(
∂
∂
x
,
∂
∂
y
,
∂
∂
z
)
{\displaystyle \nabla =\left({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right)}
Denne operator bruges i flere forskellige sammenhænge:
Den første type af brug er i forbindelse med bestemmelse af gradienten , der til en vis grad kan sammenlignes med differentialkvotienten af en funktion . Denne type beregning bruges ved funktioner af flere variable :
grad
f
=
∇
f
=
(
∂
f
∂
x
,
∂
f
∂
y
,
∂
f
∂
z
)
{\displaystyle {\textrm {grad}}f=\nabla f=\left({\partial f \over \partial x},{\partial f \over \partial y},{\partial f \over \partial z}\right)}
Divergensen af et vektorfelt
v
→
=
(
v
1
,
v
2
,
v
3
)
{\displaystyle {\vec {v}}=(v_{1},v_{2},v_{3})}
skalarprodukt .
div
v
→
=
∇
⋅
v
→
=
∂
v
1
∂
x
+
∂
v
2
∂
y
+
∂
v
3
∂
z
{\displaystyle {\textrm {div}}{\vec {v}}=\nabla \cdot {\vec {v}}={\partial v_{1} \over \partial x}+{\partial v_{2} \over \partial y}+{\partial v_{3} \over \partial z}}
Rotationen af et vektorfelt
v
{\displaystyle v}
krydsproduktet mellem et vektorfelt og Nabla, og har således en vektor som resultat.
rot
v
→
=
∇
×
v
→
=
(
∂
v
3
∂
y
−
∂
v
2
∂
z
,
∂
v
1
∂
z
−
∂
v
3
∂
x
,
∂
v
2
∂
x
−
∂
v
1
∂
y
)
{\displaystyle {\textrm {rot}}{\vec {v}}=\nabla \times {\vec {v}}=\left({\frac {\partial v_{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial v_{2}}{\partial z}},{\frac {\partial v_{1}}{\partial z}}-{\frac {\partial v_{3}}{\partial x}},{\frac {\partial v_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{1}}{\partial y}}\right)}
Der findes endvidere en anden type af operator, kaldet Laplace operatoren der betegner hvad man kunne kalde den anden afledede . Denne noteres på følgende måder:
∇
2
f
=
Δ
f
=
∇
⋅
∇
f
{\displaystyle \nabla ^{2}f=\Delta f=\nabla \cdot \nabla f}
Bevis:
For afbildningen
f
:
R
3
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }
Lad da
V
→
=
∇
f
=
(
f
x
′
,
f
y
′
,
f
z
′
)
{\displaystyle {\vec {V}}=\nabla f=(f'_{x},f'_{y},f'_{z})}
Da er
∇
×
V
→
=
∇
×
(
∇
f
)
=
(
f
z
y
″
−
f
y
z
″
,
f
x
z
″
−
f
z
x
″
,
f
y
x
″
−
f
x
y
″
)
=
(
0
,
0
,
0
)
=
0
→
{\displaystyle \nabla \times {\vec {V}}=\nabla \times (\nabla f)=(f''_{zy}-f''_{yz},f''_{xz}-f''_{zx},f''_{yx}-f''_{xy})=(0,0,0)={\vec {0}}}
Jævnfør at differentiationsrækkefølgen er ligegyldig ved mere end to afledninger.
Et rotationsfelt er divergensfrit Bevis:
Givet et vektorfelt
V
→
=
(
V
x
,
V
y
,
V
z
)
{\displaystyle {\vec {V}}=(V_{x},V_{y},V_{z})}
Da vil:
∇
×
V
→
=
(
∂
V
z
∂
y
−
∂
V
y
∂
z
,
∂
V
x
∂
z
−
∂
V
z
∂
x
,
∂
V
y
∂
x
−
∂
V
x
∂
y
)
{\displaystyle \nabla \times {\vec {V}}=\left({\partial V_{z} \over \partial y}-{\partial V_{y} \over \partial z},{\partial V_{x} \over \partial z}-{\partial V_{z} \over \partial x},{\partial V_{y} \over \partial x}-{\partial V_{x} \over \partial y}\right)}
Og dermed:
∇
⋅
(
∇
×
V
→
)
=
(
∂
V
z
∂
y
∂
x
−
∂
V
y
∂
z
∂
x
+
∂
V
x
∂
z
∂
y
−
∂
V
z
∂
x
∂
y
+
∂
V
y
∂
x
∂
z
−
∂
V
x
∂
y
∂
z
)
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times {\vec {V}})=\left({\partial V_{z} \over \partial y\partial x}-{\partial V_{y} \over \partial z\partial x}+{\partial V_{x} \over \partial z\partial y}-{\partial V_{z} \over \partial x\partial y}+{\partial V_{y} \over \partial x\partial z}-{\partial V_{x} \over \partial y\partial z}\right)=0}
Spire
