Lille vinkel

Approksimationen for den lille vinkel går ud på at erstatte trigonometriske funktioner med simplere funktioner, så længe argumentet er småt. Approksimationen siger for sinus, cosinus og tangens:[1]

Sammenligning mellem sinus og approksimationen for sinus. Det ses, at de to grafer følger hinanden, når argumentet - her - er tæt på nul.

når er lille og målt i radianer.

UdledningRediger

Approksimationen er en taylorudvikling til første orden omkring  . Et taylorpolynomium omkring nul for en funktion   kan generelt skrives som:

 

For sinus er polynomiet:

 

Mens det for cosinus er:

 

Endelig har man for tangens:

 

Når disse polynomier begrænses til første orden, reducerer de til approksimationen for små vinkler. Approksimationen bruges til at gøre beregninger simplere og kan bruges så længe, den resulterende fejl er lille nok til formålet.

EksempelRediger

  Uddybende artikel: Matematisk pendul

Approksimationen bruges fx til at modellere et penduls svingning for små udsving. Hvis pendulet modelleres som et lod i en masseløs snor med længden   og tyngdeaccelerationen  , kan det udledes, at:[2]

 

hvor   er vinklen. Denne differentialligning skal løses for at finde pendulets bevægelse, men sinus-funktionen gør det kompliceret. Hvis det antages, at udsvingene er små, bliver ligningen i stedet:

 

hvilket er væsentligt lettere at løse.

KildehenvisningerRediger

  1. ^ Kro, Tore August (2003), "MATINTRO - FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE" (PDF), web.math.ku.dk, Københavns Universitet, s. 33, hentet 11. juni 2019. 
  2. ^ DeCross, Matt; 展豪, 張; Ross, Eli; Khim, Jimin, "Small-Angle Approximation", Brilliant, hentet 11. juni 2019.