Differentialligning

Question book-4.svg Der er for få eller ingen kildehenvisninger i denne artikel, hvilket er et problem. Du kan hjælpe ved at angive troværdige kilder til de påstande, som fremføres i artiklen.

En differentialligning er en ligning, hvori der indgår en (ubekendt) funktion[1] og dens afledede.[2] At løse differentialligningen vil sige at finde en funktion, som tilfredsstiller denne.[3]

Den helt generelle form for en n'te ordens lineær differentialligning ser således ud:

Såfremt er lig nul, siger man, at differentialligningen er homogen, og i alle andre tilfælde, at den er inhomogen.[4]

En differentiallignings orden afhænger af, hvor mange gange der højest er differentieret. Ordenen kan således være fra et og opefter.

Et eksempel på benyttelse af differentialligninger i hverdagen er beskrivelsen af hhv. hastighed og acceleration i én dimension. Hastigheden er defineret[5] som ændring i position pr. tidsændring :

Samtidig er acceleration ændringen i hastighed pr. tidsændring:[6]

Dette er eksempler på differentialligninger af hhv. første og anden orden, idet man kan opfatte både strækning og hastighed, som en funktion, der afhænger af tiden.

Flere praktiske eksempler er differentialligninger til beskrivelse af elektriske kredsløb eller til beskrivelse af et masse-fjedersystem. Her tænkes der på en masse, som er fastmonteret til en fjeder, hvorefter fjederen bliver strakt ud. Beskrivelsen af den oscillerende bevægelse frem og tilbage beskrives typisk også med en differentialligning. Dette er kun ganske få udpluk af utallige praktiske anvendelser.

Eksempel: Lodret kast med bold[7]Rediger

Et konkret eksempel på anvendelse af ovenstående differentialligninger kan ses ved at kaste en bold lodret op i luften og beregne, hvornår den rammer jorden. Ses der bort fra luftmodstanden, vil denne bold accelerere nedad med tyngdeaccelerationen , som i Danmark er omtrent 9,82 m/s².[8] Det betyder, at følgende differentialligning kan opstilles for boldens højde over jorden:

Hvor strækningen er målt i meter og tiden i sekunder. Det negative fortegn skyldes, at tyngdekraften presser nedad på bolden.

Der antages yderligere, at bolden kastes opad med farten 5 m/s og at den slippes fra en højde på 1,5 m. Disse to informationen kaldes begyndelsesbetingelser til differentialligningen. De kan skrives matematisk, som hhv.:

Løsningen til differentialligningen kan findes ved at integrere af to omgange. Først findes hastigheden:

I denne differentialligning kan den første begyndelsesbetingelse indsættes, så der opnås:

Dette er en udtryk for boldens hastighed. Ønskes strækningen integreres det:

Heri kan den anden begyndelsesbetingelse anvendes:

Dette er den løsningen til den oprindelige differentialligning. Spørgsmålet om hvornår den rammer jorden kan besvares ved at løse andengradsligningen:

Hvilket giver den positive løsning:

Bolden rammer derfor jorden efter 1,23 sekunder.

Populær definition af differentialligningRediger

Populært sagt er en differentialligning en type ligning, som består af to ubestemte integraler; men der er gået kludder i de to ubestemte integraler.

Som standard er det ene integral af dx og det andet integral er af dy.


Metoden separation af de variable[9]

At løse en differentialligning[10] kan ske ved metoden separation af de variable.[11]

Her starter man med at definere to funktioner; der som standard hedder g(x) og h(y).

Man tager forbehold og sikrer, at h(y) ≠ 0

for man skal senere dividere med h(y) eller rettere: Man skal dividere med det, som er lig med h(y).[12]


Når man har bragt orden i de ubestemte intgraler,

sætter man et integraltegn (det langstrakte s) på hver side af lighedstegnet.[13]


Skrive to stamfunktioner

Herefter skal man skrive to stamfunktioner.

Ved at skrive de to stamfunktioner opstår der en almindelig ligning.


Løse den almindelige ligning

Den almindelige ligning løser man ved at isolere variablen y.[14]

Så har man beregnet differentialligningens fuldstændige løsning.[15]


Nogle eksempler på typer af differentialligningerRediger

Ifølge Hebsgaard (1995) findes der flere forskellige typer differentialligninger.


· Den proportionale første ordens differentialligning[16]

y’ = k·y

<=> og dens fuldstændige løsning

f(x) = c·exp(kx)


· Den lineære første ordens differentialligning[17]

y’ = a·y + b

<=> og dens fuldstændige løsning

f(x) = c·exp(ax) - b/a


· Den proportionale anden ordens differentialligning[18]

y’’ = c·y , c ≠ 0

<=> og dens fuldstændige løsning

y’’ = k^2·y  <=>  y = c1·exp(kx) + c2·exp(-kx)

y’’ = -k^2·y  <=>  y = c1·cos(kx) + c2·sin(kx)

y’’ = 0  <=>  y = c1·x + c2

Eksempler på anvendte differentialligningerRediger

LøsningsmetoderRediger

SoftwareRediger

Enkelte CAS-softwares kan løse differentialligninger algebraisk.[19] Til disse hører:


Disse websites kan løse differentialligninger

BøgerRediger

  • Bahr, Kristian (2015): Smart matematik A : teoribog til adgangskursus. Praxis - Nyt Teknisk Forlag, Odense. ISBN: 978-87-571-2848-2
  • Bruun, Bodil & Grøn, Bjørn m. fl. (2015): Hvad er matematik? - A : grundbog. 2. udgave. Lindhardt og Ringhof, København. ISBN 9788770664936
  • Carstensen, Jens & Frandsen, Jesper (1985): Matematik 2 - Matematik for gymnasiets matematisk-fysiske gren. Forlaget Systime, Herning. ISBN 87-7351-287-7
  • Hebsgaard, Thomas m.fl. (1995): Matematik højniveau 2. Forlaget Trip, Vejle. ISBN 87-88049-17-5
  • Herman, Edwin “Jed” & Strang, Gilbert (2016): Calculus : Volume 2 : OpenStax, Rice University, Houston, Texas, USA. ISBN-13: 978-1-947172-14-2. (online) URL: https://d3bxy9euw4e147.cloudfront.net/oscms-prodcms/media/documents/CalculusVolume2-OP_esPpXTB.pdf
  • Reinhardt, Fritz & Soeder, Heinrich (1977): dtv-Atlas zur Mathematik : Tafeln und Texte : Analysis und angewandte Mathematik. Band 2. Deutscher Taschenbuch Verlag, München. ISBN 3-423-03008-9

ReferencerRediger

  1. ^ http://denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Matematik_og_statistik/Analyse,_vektor-_og_matrixregning_og_funktionsteori/differentialligning
  2. ^ Carstensen, Jens & Frandsen, Jesper (1985): Matematik 2 - Matematik for gymnasiets matematisk-fysiske gren. Forlaget Systime, Herning. ISBN 87-7351-287-7 (s. 224)
  3. ^ Hebsgaard (1990) s. 67
  4. ^ https://brushup.aau.dk/2020e/mat-intensiv/aalborg/?file=upload/oplaeg26.pdf
  5. ^ http://www.fysikhistorie.dk/merer2/hasmer.html
  6. ^ https://ing.dk/indhold/151059
  7. ^ Herman & Strang (2016) s. 366-369
  8. ^ https://www.nbi.ku.dk/spoerg_om_fysik/fysik/tyngdekraftens-virkninger-ved-fald/
  9. ^ https://www.skoleflix.dk/watch/separation-af-de-variable-to-eksempler_vIu1Elra9ngjggV.html
  10. ^ https://www.mapleprimes.com/questions/41997-Separation-Of-Variables
  11. ^ http://www2.mat.dtu.dk/education/01007/separation_variable.pdf
  12. ^ https://slideplayer.dk/slide/1921116/
  13. ^ https://docplayer.dk/10538054-Projekt-4-6-loesning-af-differentialligninger-ved-separation-af-de-variable.html
  14. ^ https://brushup.aau.dk/2017e/mat-intensiv/aalborg/?file=upload/oplaeg14.pdf
  15. ^ https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-a/differentialligninger/losninger-til-differentialligninger
  16. ^ Hebsgaard (1995) s. 71-72
  17. ^ Hebsgaard (1995) s. 72-73
  18. ^ Hebsgaard (1995) s. 82-83
  19. ^ https://www.unf.edu/~ddreibel/cas/
  20. ^ http://www.alelvisoftware.com/Expressions/ExpressionsinBar.html
  21. ^ https://www.youtube.com/watch?v=SbLcNPMwTng
  22. ^ https://www.youtube.com/watch?v=xJomeU4ICfo
  23. ^ https://johnboccio.com/MathematicaTutorials/11_DifferentialEquationSolvingWithDSolve.pdf
  24. ^ http://doc.sagemath.org/html/en/tutorial/tour_algebra.html
  25. ^ http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac/cascmd_en.pdf