Maxwell-Boltzmann-fordelingen
Ikke at forveksle med Boltzmann-fordelingen.
Maxwell-Boltzmann-fordelingen beskriver hastigheds- og fartfordelingen af partiklerne i en idealgas i termisk ligevægt jf. den kinetiske gasteori. Fordelingen af fart er givet ved:

hvor er gassens temperatur, er Boltzmanns konstant, og er en enkelt partikels masse. Hvis en tilfældig partikel i gassen udvælges, er sandsynligheden for, at den har en fart i intervallet til altså givet ved .[1]
Udledning
redigérSiden partiklerne i en idealgas ikke interagerer med hinanden udover ved elastiske sammenstød, er deres energi blot lig med deres kinetiske energi
hvor er hastigheden.[1]
Hastighedsfordeling
redigérJf. Boltzmann-fordelingen må fordelingen af kinetisk energi følge en eksponentialfunktion:
Da
for hver retning , og , er fordelingsfunktionen altså en funktion af tre variable:
Det ses, at fordelingen er fordelt sfærisk symmetrisk omkring 0 som en normalfordeling, hvilket vil sige, at partiklerne ikke bevæger sig i en foretrukken retning. For at normere fordelingen skal integralet give 1:
Da det gaussiske integrale er[2]
må det for fordelingsfunktionen gælde:
Dermed er fordelingsfunktionen for hastigheder
Det ses desuden, at fordelingen flader ud, jo højere temperaturen bliver.[1]
Fartfordelingen
redigérFor at finde fartfordelingen skal hastighedernes retninger integreres væk. Pga. symmetrien kan sfæriske koordinater med fordel bruges:
Her er rumvinklen. Integralet over rumvinklen er , så fartfordelingen bliver
I modsætning til hastighedsfordelingen er fartfordelingen altså ikke symmetrisk omkring 0.[1]
Kildehenvisninger
redigér- ^ a b c d Blundell, Stephen J.; Blundell, Katherine M. (2006). "5 The Maxwell–Boltzmann distribution". Concepts in Thermal Physics (engelsk) (1. udgave). Oxford University Press. s. 46-48. ISBN 978-0-19-856770-7.
- ^ Blundell, Stephen J.; Blundell, Katherine M. (2006). "C.2 The Gaussian integral". Concepts in Thermal Physics (engelsk) (1. udgave). Oxford University Press. s. 437. ISBN 978-0-19-856770-7.