Maxwell-Boltzmann-fordelingen

Confusion colour.svg Ikke at forveksle med Boltzmann-fordelingen.

Maxwell-Boltzmann-fordelingen beskriver hastigheds- og fartfordelingen af partiklerne i en idealgas i termisk ligevægt jf. den kinetiske gasteori. Fordelingen af fart er givet ved:

Maxwell-Boltzmann-fordelingen for forskellige temperaturer, hvor og . Det ses, at fordelingen forskydes mod højere hastigheder, når temperaturen stiger.

hvor er gassens temperatur, er Boltzmanns konstant, og er en enkelt partikels masse. Hvis en tilfældig partikel i gassen udvælges, er sandsynligheden for, at den har en fart i intervallet til altså givet ved .[1]

UdledningRediger

Siden partiklerne i en idealgas ikke interagerer med hinanden udover ved elastiske sammenstød, er deres energi   blot lig med deres kinetiske energi

 

hvor   er hastigheden.[1]

HastighedsfordelingRediger

Jf. Boltzmann-fordelingen må fordelingen af kinetisk energi følge en eksponentialfunktion:

 

Da

 

for hver retning  ,   og  , er fordelingsfunktionen altså en funktion af tre variable:

 
 
En én-dimensionel normalfordeling omkring 0.

Det ses, at fordelingen er fordelt sfærisk symmetrisk omkring 0 som en normalfordeling, hvilket vil sige, at partiklerne ikke bevæger sig i en foretrukken retning. For at normere fordelingen skal integralet give 1:

 

Da det gaussiske integrale er[2]

 

må det for fordelingsfunktionen gælde:

 

Dermed er fordelingsfunktionen for hastigheder

 

Det ses desuden, at fordelingen flader ud, jo højere temperaturen bliver.[1]

FartfordelingenRediger

 
Fartfordelingen for forskellige ædelgasser ved 298.15 K (25 °C). Jo lettere atomerne er, jo mere udfladet er fordelingen.

For at finde fartfordelingen skal hastihedernes retninger integreres væk. Pga. symmetrien kan sfæriske koordinater med fordel bruges:

 

Her er   rumvinklen. Integralet over rumvinklen er  , så fartfordelingen bliver

 

I modsætning til hastighedsfordelingen er fartfordelingen altså ikke symmetrisk omkring 0.[1]

KildehenvisningerRediger

  1. ^ a b c d Blundell, Stephen J.; Blundell, Katherine M. (2006). "5 The Maxwell–Boltzmann distribution". Concepts in Thermal Physics (engelsk) (1. udgave). Oxford University Press. s. 46-48. ISBN 978-0-19-856770-7. 
  2. ^ Blundell, Stephen J.; Blundell, Katherine M. (2006). "C.2 The Gaussian integral". Concepts in Thermal Physics (engelsk) (1. udgave). Oxford University Press. s. 437. ISBN 978-0-19-856770-7.