Boltzmann-fordelingen

Confusion colour.svg Ikke at forveksle med Maxwell-Boltzmann-fordelingen.

Boltzmann-fordelingen beskriver sandsynligheden for, at et fysisk system er i en given tilstand. Sandsynligheden for at et system er i en tilstand med energien er proportional med en eksponentialfunktion:

hvor er systemets temperatur, er Boltzmanns konstant, og kaldes Boltzmann-faktoren. Det ses, at høje energitilstande er mindre sandsynlige, men det er kun, når temperaturen er nul, at systemet udelukkende kan være i den laveste energitilstand.

For et system med diskrete energitilstande bliver den normerede sandsynlighed for at være i energitilstanden altså:

hvor nævneren kaldes for tilstandssummen,

som sørger for, at summen af sandsynligheder er 1.[1]

Boltzmann-fordelingen er central i den statistisk mekanik. Fordelingen er den klassiske grænse til den kvantemekaniske Fermi-Dirac-fordeling og Bose-Einstein-fordeling.

UdledningRediger

Boltzmann-fordelingen kan udledes på flere forskellige måder, der komplementerer hinanden. I det følgende benyttes termisk ligevægt og Gibbs' entropiformel.

Termisk ligevægtRediger

I den første metode ses der på en termisk ligevægt mellem to systemer. Det ene system er meget større end det andet og kaldes et reservoir. Det har oprindeligt energien  , men afgiver en meget lille del   for at opnå termisk ligevægt. Det første system har antallet   af mikrotilstande for energien  , mens det andre system er så lille, at det kun har   mikrotilstand for energien  . Sandsynligheden   for at finde det lille system med en bestemt energi   er proportional antallet af mikrotilstande   for de samlede to systemer. Dette er blot produktet af antallet af mikrotilstande af de to systemer hver for sig. Sandsynligheden er altså:

 

For at finde et udtryk for   kan den naturlige logaritme til   Taylor-ekspanderes til første orden:

 

Temperaturen   for reservoiret er defineret som

 

og da de to systemer er i termisk ligevægt, er   også det lille systems temperatur. Dermed bliver Taylor-ekspansionen:

 

Eksponential-funktionen tages på begge sider for at ophæve logaritmen:

 

Det vil sige, at

 

Det ses, at det lille system altså kan have forskellige energier, selvom temperaturen er konstant.[1]

EntropiRediger

Jævnfør Gibbs entropiformel er entropien   for et system generelt givet ved:

 

hvor   er sandsynligheden for, at systemet er i makrotilstanden  . I denne sammenhæng altså sandsynligheden for at have energi  . Den gennemsnitlige energi må være den indre energi  

 

og sandsynlighederne er normerede, hvilket vil sige, at

 

Vha. Lagrange-multiplikatorer indsættes disse to betingelser, og den nye funktion kaldes  :

 

hvor entropien er divideret med   for nemhedens skyld. Dette skal maksimeres mht. sandsynligheden  . Her bruges  , da   allerede er brugt til summerne. Den afledte skal give nul:

 

Sandsynligheden kan nu isoleres:

 

Boltzmann-fordelingen er dermed udledt. Nævneren er blot en konstant og må altså være lig med tilstandssummen:

 

En sammenligning med udledningen vha. termisk ligevægt viser, at multiplikatoren   må være:

 

Dvs. at   blot er en anden måde at beskrive den samme fysik, som temperatur beskriver.[2]

KildehenvisningerRediger

  1. ^ a b Blundell, Stephen J.; Blundell, Katherine M. (2006). "4 Temperature and the Boltzmann factor". Concepts in Thermal Physics (engelsk) (1. udgave). Oxford University Press. s. 33-36. ISBN 978-0-19-856770-7. 
  2. ^ Blundell, Stephen J.; Blundell, Katherine M. (2006). "14.8 Entropy and probability". Concepts in Thermal Physics (engelsk) (1. udgave). Oxford University Press. s. 148-149. ISBN 978-0-19-856770-7.