Panserformlen

Panserformlen er en matematisk formel der bruges når man skal finde en fuldstændig løsning ud fra en lineær differentialligning af første orden.

Formlen giver løsningen til differentialligningen

for to kontinuerte funktioner, og , under betingelsen . Formlen er givet ved:

,

hvor er en stamfunktion til .[1]

BevisRediger

Panserformlen kan bevises ved at antage, at en stamfunktion   til   eksisterer. På begge sider af differentialligningen multiplicerer man først med   opløftet i   sådan:

 

  Da der gælder at:

 

kan man skrive differentialligningen sådan:

 

  Vha. produktreglen for differentiation kan man føje de to led med   sammen sådan:

 

  Man integrerer mht.   på begge sider, hvilket ophæver differentiationen på venstresiden:

 

hvor   er en integrationskonstant, som tilhører de reelle tal.[2]

  Konstanten flytter man over på højresiden, og man dividerer med   sådan:

 

Så har man isoleret  .[1] Den endelige integrationskonstant kan man nu bestemme, hvis   er kendt til et bestemt punkt  , således at  .

Panserformlen er hermed bevist.

Q.E.D.

Der findes et alternativt bevis for panserformlens korrekthed.[3]

ReferencerRediger

 Stub
Denne artikel om matematik er kun påbegyndt. Hvis du ved mere om emnet, kan du hjælpe Wikipedia ved at udvide den.