Pentagonal tessellation

I geometri er pentagonal tessellation en tessellation af planet, hvor hvert individuelt stykke har form som en pentagon. Dvs. at man dækker et plan fuldstændigt med kun én form.

Eksempler på hver af de 15 kendte monohedrale Tessellation med konvekse pentagoner.

Med regulære pentagonale er tessellation på en to-dimensionel flade umulig, fordi vinklen i regulære femkanter er 108°, hvilket ikke er divisor til 360°, som svarer til en hel tørn.

Der kendes femten typer konvekse pentagoner, som monohedralt kan bruges til tessellation af en flade, og det vides ikke om denne liste er komplet.

Historie

Reinhardt fandt i 1918 fem irregulære pentagonale tessellationer. I 1968 fandt Kershner yderligere tre typer. Han påstod samtidig at dette var det endelige antal pentagoner, der kunne dække en flade. I 1975 fandt Richard E. James III yderligere en niende type, efter han havde læst om Kershners resultater i Martin Gardners kolonne "Mathematical Games" i Scientific American i juli 1975. Schattschneider beskrev, hvordan Marjorie Rice havde fundet endnu fire nye typer tessellationer med pentagoner i 1976 og 1977.

Schattschneider beskrev en 14. type konvekts pentagon, der blev fundet i 1985. I 2011 beskrev Bagina, at der kun findes 8 hjørne-til-hjørne konvekse typer, hvilket blev bekræftet da Sugimoto uafhængigt nåede frem til samme resultat i 2012. I 2015 fandt en gruppe matematikere, Casey Mann, Jennifer McLoud og David Von Derau fra University of Washington Bothell en femtende type ved brug af en computeralgoritme.

Ikke-konvekse pentagoner

Med pentagoner, der ikke behøver at være konvekse, er der yderligere et antal tessellationer muligt. Et eksempel på dette er sphinx tiling, en aperiodisk tessellation dannet med en pentagonal rep-tile.

Se også

• Mosaik

Referencer

Bibliografi

• Bagina, Olga (2004), "Tiling the plane with congruent equilateral convex pentagons", Journal of Combinatorial Theory. Series A, 105 (2): 221-232, doi:10.1016/j.jcta.2003.11.002, ISSN 1096-0899, MR 2046081
• Bagina, Olga (2011), Мозаики из выпуклых пятиугольников [Tilings of the plane with convex pentagons], Vestnik (russisk), Kemerovo State University, 4 (48): 63-73, ISSN 2078-1768, hentet 29. januar 2013
• Grünbaum, Branko; Shephard, Geoffrey C. (1987), "Tilings by polygons", Tilings and Patterns, New York: W. H. Freeman and Company, ISBN 0-7167-1193-1, MR 0857454
• Gardner, Martin (1988), "Tiling with Convex Polygons", Time travel and other mathematical bewilderments, New York: W. H. Freeman and Company, ISBN 0-7167-1925-8, MR 0905872
• Godrèche, C. (1989), "The sphinx: a limit-periodic tiling of the plane", Journal of Physics A: Mathematical and General, 22 (24): L1163-L1166, doi:10.1088/0305-4470/22/24/006, MR 1030678
• Hirschhorn, M. D.; Hunt, D. C. (1985), "Equilateral convex pentagons which tile the plane", Journal of Combinatorial Theory. Series A, 39 (1): 1-18, doi:10.1016/0097-3165(85)90078-0, ISSN 1096-0899, MR 0787713
• Kershner, Richard (1968), "On paving the plane", American Mathematical Monthly, 75: 839-844, doi:10.2307/2314332, ISSN 0002-9890, MR 0236822
• Reinhardt, Karl (1918), Über die Zerlegung der Ebene in Polygone, Dissertation Frankfurt a.M. (tysk), Borna-Leipzig, Druck von Robert Noske,{{citation}}: CS1-vedligeholdelse: Ekstra punktum (link)
• Schattschneider, Doris (1978), "Tiling the plane with congruent pentagons", Mathematics Magazine, 51 (1): 29-44, doi:10.2307/2689644, ISSN 0025-570X, MR 0493766
• Schattschneider, Doris (1985), "A new pentagon tiler", Mathematics Magazine, 58 (5): 308, The cover has a picture of the new tiling
• Sugimoto, Teruhisa (2012), "Convex pentagons for edge-to-edge tiling, I." (PDF), Forma, 27 (1): 93-103, MR 3030316

Eksterne henvisninger

• Wikimedia Commons har flere filer relateret til Pentagonal tessellation
• Pentagon Tilings
• The 14 Pentagons that Tile the Plane
• 15 (monohedral) Tilings with a convex pentagonal tile with k-isohedral colorings