Raketligningen

Raketligningen er den simpleste matematiske model for en rakets fremdrift. Ligningen blev udledt af Konstantin Tsiolkovskij.

Plot af raketligningen.

Ligningen

Ligningen skrives:

$\Delta v=v_{\text{e}}\ln \left({\frac {m_{0}}{m_{\text{f}}}}\right)$

hvor:

$\Delta v=v_{\mathrm {efter} }-v_{\text{før}}$: tilvæksten af rakettens fart

$v_{\text{e}}$: farten hvormed rakettens brændsel udstødes i forhold til raketten

$m_{0}$: rakettens begyndelsesmasse

$m_{\text{f}}$: rakettens masse uden brændstof

Ligningen kan bruges til at beregne en rakets endelig fart, når alt brændstof er brugt.

Udledning

Illustration of modellen. Raketten udskyder en lille masse og skubbes derved fremad.

En raket udskyder masse med en rate $\alpha$ og en hastighed $v_{\text{e}}$ i forhold til raketten selv. For en infinitesimal udskudt masse $-{\text{d}}m$ er den infinitesimale impuls ${\text{d}}p$:

${\text{d}}p=-v_{\text{e}}{\text{d}}m$

Selve raketten må have en lige så stor impulsændring i modsat retning jf. Newtons tredje lov. Raketten har massen $m$ og oplever en infinitesimal hastighedsændring ${\text{d}}v$:

${\text{d}}p=m{\text{d}}v$

Da impulsændringerne er lige store, har man:

$m{\text{d}}v=-v_{\text{e}}{\text{d}}m$

Dividerer man med massen og integrerer, har man:

$\int {\text{d}}v=-v_{\text{e}}\int {\frac {1}{m}}{\text{d}}m$

Og dermed:

$v=-v_{\text{e}}\ln(m)+c$

hvor $c$ er integrationskonstanten. I begyndelsen vil raketten have massen $m_{0}$ og ikke bevæge sig, hvilket betyder, at:

$c=v_{\text{e}}\ln(m_{0})$

Altså har man:

${\begin{aligned}v&=-v_{\text{e}}\ln(m)+v_{\text{e}}\ln(m_{0})\\v&=v_{\text{e}}\ln \left({\frac {m_{0}}{m}}\right)\\v&=v_{\text{e}}\ln \left({\frac {m_{0}}{m_{0}-\alpha t}}\right)\end{aligned}}$

hvor $t$ er tid. Man har nu en bevægelsesligning for raketten. Kalder man massen af en tom raket $m_{\text{f}}$ og den maksimale hastighed $\Delta v$, finder man denne relation:

$\Delta v=v_{\text{e}}\ln \left({\frac {m_{0}}{m_{\text{f}}}}\right)$

hvilket er raketligningen, som den typisk bliver præsenteret. Det ses, at rakettens endelige hastighed bliver højere, jo større del af raketten er brændstof. Man kan tilsvarende skrive:

${\frac {m_{0}}{m_{\text{f}}}}={\text{e}}^{\frac {\Delta v}{v_{\text{e}}}}$

med den kan man beregne, hvor meget brændstof er nødvendigt for at opnå en bestemt sluthastighed.

Eksterne henvisninger

• The Rocket Equation: Mathematician vs Astronaut - raketligningen gennemgået af Matt Parker og Chris Hadfield