De reelle tal kan konstrueres ved at man ser på ækvivalensklasser af [[Cauchyfølger]] af rationale tal; altså ved en [[fuldstændiggørelse]] af de rationale tal. En anden måde er ved at se på [[Dedekindsnit]]. Således bliver de reelle tal det [[isomorfi|op til isomorfi]] entydigt bestemte [[fuldstændigt ordnet legeme|fuldstændigt ordnede legeme]]. ▼De '''reelle tal''', der skrives <math>\mathbb{R}</math> ([[Unicode]] ℝ), er alle tal, der kan skrives som en [[endelig decimalbrøk]] eller [[uendelig decimalbrøk]], altså
<math>q,d_1d_2d_3\ldots</math>,
hvor <math>q</math> er et [[heltal]], og ''decimalerne'', <math>d_1,d_2,\ldots</math> er et af cifrene, <math>0,1,2,\ldots,9</math>.
De reelle tal kan repræsenteres ved en kontinuert linje. Alle hele tal og alle brøker ([[rationale tal]]) er reelle tal, da de ligger et eller andet sted på den reelle tallinje.
Vi kalder mængden af tal, som er i de reelle tal, men ikke i de rationale tal, for de [[irrationale tal]].
De reelle tal kan således deles op i to [[disjunkt (matematik)|disjunkte]] mængder: de [[rationale tal]] og de [[irrationale tal]].
Hvis vi med <math>\mathbb{A}</math> betegner mængden af alle de tal der er rødder i et [[polynomium]] med rationale koeffecienter, så har vi en anden disjunkt opdeling af de reelle tal, nemlig som de [[algebraiske tal]], <math>\mathbb{A}</math>, og de [[transcendente tal]], <math>\mathbb{R} \setminus \mathbb{A}</math>.
== Konstruktion af de reelle tal ==
▲De reelle tal kan konstrueres ved at man ser på ækvivalensklasser af [[Cauchyfølger]] af rationale tal; altså ved en [[fuldstændiggørelse]] af de rationale tal. En anden måde er ved at se på [[Dedekindsnit]]. Således bliver de reelle tal det [[isomorfi|op til isomorfi]] entydigt bestemte [[fuldstændigt ordnet legeme|fuldstændigt ordnede legeme]].
Man kan anskue det således, at selve konstruktionen (på den ene eller anden måde) bygger på tidligere viden – nemlig de rationale tal og i sidste ende [[mængdelæren]] – således at vi mindsker muligheden for at få nye paradokser ind i teorien (jf. [[Gödels ufuldstændighedsteorem]]), mens aksiomerne for et fuldstændigt ordnet legeme er en ønskeliste, som vi gerne så <math>\mathbb R</math> opfyldte – og som det også viser sig, at mængden gør.
| 